Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
19.4. Группы Лоренца
43
вить в виде произведения RXPR2, где Rx и R2 принадлежат а Р принадлежит
Xх; следовательно, Q ? Хр. (Кстати, отсюда следует, что в разложении
QiQi- ¦ -Qj всегда достаточно трех множителей.) Прежде всего, пусть R3 и
Rt-вращения, которые соответственно переводят трехмерные векторы (gl, q\,
Таким образом, если Q' умножим на Р(-ф), то последняя строка и последний
столбец этого произведения будут теми же, что и соответствующие строка и
столбец матрицы Р(-ф) Р (ф) = /; отсюда
Эта матрица, подобно Q и Q', описывает преобразование, которое
принадлежит Хр, и, значит, оставляет инвариантной фундаментальную
квадратичную форму. Поэтому X" оставляет инвариантной квадратичную форму
(х1)2 + + (х2)8-^*3)2 и, следовательно, принадлежит группе 0(3), но detX"
= + l, откуда следует, что X"-элемент S0(3), т. е. Q"-элемент группы
скажем R3. Итак, мы имеем
где R1 = R3l и R3=R6R41.
Замечание. Элементы вида L - R^PR, где R принадлежит 5i, а Р принадлежит
Sх, называются чистыми преобразованиями Лоренца. В этом случае оси новой
и старой систем координат все еще параллельны (так же, как для Я(ср)), но
направление относительной скорости может быть произвольным. Матрица L
симметрическая, но если Lj и La-два чистых преобразования Лоренца, то
легко видеть, что матрица LXL2 не является симметрической, если только
относительные скорости не параллельны; следовательно, чистые
преобразования Лоренца не образуют подгруппу группы Sp. Более того, если
LXL3-несимметрическая матрица, то можно найти такое чистое преобразование
L3, что LXL2L3 представляет собой чистое вращение (элемент группы 5?),
причем LjL2Ls=^/. Это обстоятельство приводит к псевдопарадоксальному
результату, заключающемуся в том, что можно повернуть некоторое тело,
последовательно сообщив ему три чисто линейных уско-
Qi) и (яи я\> Яз) в положительное направление оси х1. Тогда
Р(-ф) RsQRi=Rb, что приводит к искомому виду элемента Q:
Q = RiP (ф) R2,
44
Гл. 19. Непрерывные группы
рения в трех различных направлениях таким образом, что в результате
комбинации этих трех движений тело останавливается. Такое явление,
описанное в несколько иных формулировках, было открыто на заре квантовой
механики Л. Томасом в связи с релятивистскими поправками к энергетическим
уровням атома. [Электрон, двигаясь по орбите вокруг ядра, подвергается
(непрерывной) последовательности лоренцевых трансляций, подобных
описанным преобразованиям, и возникает эффект, аналогичный тому, к
которому приводит существование спина электрона.]
Группа 21, порожденная элементами группы 2 р и преобразованием обращения
времени, которое задается матрицей
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
.0 0 0 ¦ -1
является подгруппой группы 2f, поскольку ясно, что Т сохраняет
фундаментальную форму. Аналогично группа 2s, порожденная элементами
группы 2р и пространственной инверсией, задаваемой матрицей
-1 0 0 0
0 - -1 0 0
0 0 - -1 0
0 0 0 1
является подгруппой группы 2f. Наконец, вся 2t порождается элементами
группы 2р и преобразованиями Т и S.
Упражнения
Докажите или опровергните следующие утверждения.
1. Любое собственное преобразование Лоренца с симметрической матрицей
есть чистое преобразование Лоренца.
2. Если Pj и Р2 - два чистых преобразования Лоренца, то PlPiPilP7' есть
чистое вращение.
3. Подгруппа вращений представляет собой нормальную подгруппу группы Хр.
Очевидным обобщением групп Лоренца могут быть группы преобразований,
которые сохраняют значение фундаментальной формы
(х1)!+ - ¦. -f-(x')2-(хг+1)2-...- {хГ + 1)*\
возможность пространственных отражений появляется, когда г нечетно, а
возможность обращения времени-когда I нечетно.
19.5. Многообразие группы
45
19.5. МНОГООБРАЗИЕ ГРУППЫ
Если любой элемент
ортогональной группы 0(3) представляется точкой 9-мерного (вещественного)
пространства У(r) с координатами Яп, Я1а, . . Ras (заданными, скажем, в том
порядке, в котором они появляются в матрице), то данная группа
представляется множеством точек в пространстве У(r), которые удовлетворяют
шести алгебраическим уравнениям
+ + = (/ *)"(1 2>' 3)' (2 3)' (19-5-2)
которые означают, что столбцы матрицы R суть попарно ортогональные
единичные векторы в соответствии с § 19.2. Полученная трехмерная
алгебраическая поверхность в пространстве У(r) называется многообразием
группы 0(3). Точные размеры, форма и кривизна этой поверхности не
представляют интереса, но ее общие топологические свойства тесно связаны
со структурой группы.
С каждой непрерывной группой линейных преобразований аналогично
ассоциируется некая алгебраическая поверхность в некотором пространстве
Vm. Однако требуется определенное внимание, когда делаются выводы из
числа уравнений. Для группы 50(3) кроме выписанных выше шести уравнений
(19.5.1) и (19.5.2) имеется седьмое алгебраическое уравнение
Как будет показано в дальнейшем, поверхность, определенная первыми шестью
уравнениями, состоит из двух частей, или компонент (наподобие двух ветвей
