Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Этими разделяющими системами координат в Е3 являются системы общих
эллипсоидальных координат, а также те системы частного вида, которые
получаются из них в результате разного рода предельных переходов, таких,
как приравнивание двух полуосей, удаление одного из фокусов на
бесконечность и т. д., включая системы координат вытянутого и сплюснутого
сфероида, параболические, параболоидальные, эллиптического цилиндра,
параболического цилиндра, кругового цилиндра, сферические и декартовы.
Детальное описание этих систем координат см. в книге Морса и Фешбаха
11953] *).
1) См, также книгу Миллера [1977],-Прим, перев.
Глава 28
РАСШИРЕНИЕ МНОГООБРАЗИИ ЭЙНШТЕЙНА
Уравнения поля специальной и общей теорий относительности; тензор
энергии-импульса; космологическая постоянная; многообразие Эйнштейна;
карты Шварцшильда и Финкельштейна; теорема Биркгофа; смысл сферической
симметрии; многообразие Крускала; максимальные и геодезически полные
многообразия; другие расширения карт Шварцшильда; обращение времени;
многообразие Керра; задача Коши для уравнений поля Эйнштейна.
Предварительные сведения', гл. 23, 24, 26 и 27; знакомство с общей
теорией относи тел ьности.
Среди многих математических задач, относящихся к общей теории
относительности, задача расширения выбрана потому, что она связана с
глобальными геометрическими и топологическими свойствами многообразий
Эйнштейна, а эти свойства, по моему мнению, составляют основной
математический аспект теории. Хотя никаких других формул и результатов,
кроме тех, что получены в предыдущих главах данной книги, здесь не
используется, эта глава, вероятно, будет доступной только тем читателям,
которые хотя бы немного знакомы с теорией относительности. В частности,
первые два параграфа следует рассматривать не как источник изучения основ
теории относительности, а лишь просто как их обсуждение.
28.1. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Напомним, что электромагнитная теория Дж. К. Максвелла не только
усовершенствовала и завершила классическую теоретическую физику, но и
привела к трем главным кризисам в этой науке. (1) В отличие от всех
предшествующих физических теорий она оказалась неинвариантной
относительно преобразований Галилея или Ньютона, что, казалось,
подразумевало существование абсолютной системы отсчета во вселенной. (2)
Когда к этой теории применили принципы статистической физики, то это
привело к так называемой ультрафиолетовой катастрофе. (3) Будучи
примененной к исследованию электронов, рассматриваемых как точечные
заряды, она привела к получению бесконечного самодей-ствия и бесконечной
собственной энергии электрона. Первый кризис был разрешен специальной
теорией относительности, второй - квантовой гипотезой (оба - примерно в
1900-1905 гг.), а третий кризис (пока еще не полностью) - программой
перенормировки квантовой электродинамики начала 50-х годов.
260
Г л. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
Для преодоления первой трудности теории Лоренц и Фитцджеральд
предположили, что когда объект движется относительно абсолютной системы
отсчета, он сжимается в определенной степени в направлении движения, а
все процессы, происходящие с ним, замедляются в том же отношении
вследствие каких-то электромагнитных эффектов внешних членов уравнений
Максвелла, возникающих из-за движения его системы отсчета. Эта гипотеза
не противоречила никаким известным фактам, потому что тогда было очень
мало известно о строении материи, хотя и было ясно, что электромагнетизм
как-то связан с этим строением. Следствием этой гипотезы оказалась
инвариантность всех чисто электромагнитных явлений относительно так
называемых преобразований Лоренца, которые учитывали сжатие и замедление
(действительно, уравнения Максвелла инвариантны относительно этих
преобразований); следовательно, при помощи электромагнитных явлений
невозможно обнаружить движение относительно абсолютной системы отсчета.
После этого Эйнштейн предположил дополнительно, что относительно
преобразований Лоренца инвариантны все физические законы *) (для этого
законы следует, разумеется, видоизменять для скоростей, сравнимых со
скоростью света с). Все инерциальные системы отсчета становятся тем самым
равноправными; следовательно, законы физики становятся проще в том
смысле, что уже нет необходимости рассматривать, как могли бы
воздействовать электромагнитные явления (обусловленные движением
относительно абсолютной системы отсчета) на механику, термодинамику,
строение атома и т. п., и т. д. Если эти законы известны в одной
инерциальной системе отсчета, то, согласно принципу инвариантности
относительно преобразований Лоренца, они определены и в любой другой. В
следующем параграфе описаны аналогичные упрощения физических законов,
вытекающие из общей теории относительности.
28.2. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Классическое уравнение гравитационного поля имеет вид
V2<p = 4jiGp, (28.2.1)
где ф = ф(х)-гравитационный потенциал, р = р(х)-плотность вещества, a G-
