Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
подпространство X,, содержащее f(0, ф), и выбрать эту функцию / (в, ф)
так, чтобы такое подпространство было столь мало в некотором смысле,
сколь это возможно. Если f (0, ф) = 2 ёт (6) е1'пя и если лля некоторого
т*
т
gm, (0) ф 0, то из рассуждений § 20.5 следует, что подпространство Xj
содержит все функции, кратные единственному члену суммы, а именно gm• (0)
е1т*Ф. Применение операторов L+ и L~ к функции вида /(0) е(т<р дает
функции f1(6)ei и /2 (в)е1(т~1)ч> (по этой
причине L+ и L~ называют операторами поднятия и опускания),
и в силу инвариантности Xj эти функции должны принадлежать Хг;
следовательно, Xt содержит функции вида
Ф) = .?и(0)е'тф (20.9.8)
для т - т*+ 1, т* + 2, ... и для т-т*-1, т*-2..................
Далее окажется, что функции gm(0) можно выбрать так, что Xf будет
конечномерным; для этого Е+фи должна обратиться в нуль для некоторого т,
скажем для лг = /, a L~\pm должна обратиться в нуль для некоторого m^Ll,
скажем для т = 1'\ ниже мы покажем, что /' = - /. Первое из указанных
условий сводится к уравнению gi (0)-/ctg0gj(0) = O, что следует из
формулы (20.9.6) для L+. Решением данного дифференциального уравнения
является функция gt (0) = const -(sin 0)*, и, поскольку функции из Х" не
имеют никаких особенностей на единичной сфере, отсюда следует, что (>= 0;
поэтому
¦фг (0, ф) = ^ (ef<p sin 0)', (20.9.9)
где С-константа, которая будет определена позднее. Начиная с этой функции
можно получить последовательность функций грг_Г,
66
Гл. 20. Представления групп 1
^_a, ... повторным использованием оператора L-, который преобразует
функцию g(Q)e'mv в функцию вида h (0) еат~и ф. Все эти функции
принадлежат Хг. Теперь мы, во-первых, покажем, что применяя оператор
поднятия, нельзя получить никаких новых функций из уже полученных, т. е.
что -та же функция,
что и фт, с точностью до нормировки, а, во-вторых, установим, что L~ty_t
= 0, иначе говоря, что последовательность функций обрывается при т = - I.
Мы используем индукцию для убывающего т начиная с т - 1. Допустим, что
для некоторого т функция L+tym пропорциональна функции фт+1, т. е. что
L~L+\\>т пропорциональна функции фт, и заметим, что это последнее
утверждение заведомо верно для т = 1, поскольку L+i)3f = 0. Согласно
(20.9.7),
(L+L~-L~L+) фи = -2Д3фи = -2тфи, (20.9.10)
откуда следует, что и L+L~tym также пропорциональна следовательно, ?+фт_1
пропорциональна фт и индукцию можно продолжать.
Теперь определим функции фт в явном виде. Пусть пропорциональность, о
которой говорилось выше, записана следующим образом:
^ + = 4атФт + 1> ^ + i = ^т'Рт- (20.9.11)
Так как любая функция фт содержит произвольный множитель, эти уравнения
определяют лишь произведение ат$т посредством уравнения L~L+\\>т - -
Поэтому можно положить Pm=am
для всех т. Тогда из (20.9.10) будет следовать, что -агт_,+а^= = -2т для
всех т < /, причем это уравнение справедливо и для т = 1, если at
положить равным нулю. При помощи индукции для убывающего т получим
a,2" = (/ + m+ 1)(/-т) (m = l, /- 1, ..., - /); следовательно, можно
взять
ат = ^(1 + т+1)(1-т) (m = l, /-1, ...), (20.9.12)
где имеется в виду положительное значение корня. В частности, а_/_1 = 0;
поэтому L~1ty_t = 0, что и требовалось доказать.
Итак, уравнения (20.9.9), (20.9.11) и (20.9.12) определяют все функции фя
(-l^.m^.1) с точностью до постоянной С. Линейная оболочка этих функций
образует (2/+ 1)-мерное подпространство Х2/+1 пространства Х°° (S),
инвариантное относительно Lx, L%, L3, а также, как будет показано в конце
§ 20.14, и относительно преобразований p(g) для всех g из группы SO(3);
существует лишь одно такое подпространство для каждого / = 0, 1, 2, ... .
Преобразования p(g), действие которых ограничивается
20.10. Тессеральные гармоники. Функции Лежандра
67
подпространством X2l+1, обозначаются через (g)\ они составляют
конечномерное неприводимое представление группы G, и, как будет показано
в § 21.13, только такие представления являются с точностью до
эквивалентности единственно возможными неприводимыми представлениями.
20.10. ТЕССЕРАЛЬНЫЕ ГАРМОНИКИ. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
В этом параграфе будет показано, что свойства сферических гармоник
получаются из теории представлений группы вращений и что тессеральные
гармоники образуют базис для представления группы SO (3).
Если функции (0, ф), полученные в предыдущем параграфе, взять в качестве
базиса в Х2/+1, то преобразования р (g), действие которых ограничено
подпространством X2l+1, задаются матрицами размера (2/-J- 1)х(2/ +1). Но,
прежде чем вычислить эти матрицы, следует подробнее рассмотреть функции
фт; в дальнейшем они будут обозначаться через Vf (0, ф) для того, чтобы
указать зависимость от I. Эти функции называются тессеральными
(поверхностными) гармониками. Поверхностная гармоника есть функция f (0,
ф), такая, что функция rPf (0, ф) удовлетворяет уравнению Лапласа для
некоторого целого числа р, и, как будет показано, функция rPYf (0, ф)
удовлетворяет уравнению Лапласа. Тессера (это слово произошло от
