Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
2
чивая m и п, мы видим, как меняется форма тела с увеличением центробежных и приливных сил. По смыслу задачи величина r должна быть всегда положительной. Это условие накладывает ограничение на область определения m, п. Она легко находится из (18) и на рис. 18.2 обозначена как 0АВС. Форма тела (в координатах (r, 0)) от постоянной М не зависит, поэтому вначале задавались параметры m, п и затем определялся масштаб М из условия сохранения объема всего тела:
M3 JJ r 3cos j dj dJ = 4p.
j, J
Из решения (19) видно, что отношение п/ m от величин M, s0 не зависит:
Рис. 18.2.
m
h
Равенства (20) показывают, что случай п/m = 0,5 является в определенном отношении особым (см. рис. 18.2, прямая 0В). Пусть m = 2п и, следовательно,
r = 1 - — + 2mcos2 jcos2 0.
(21)
Возьмем сечение поверхности тела плоскостью х = х = const. Если обратиться к формулам (1), нетрудно заметить, что для сечения х = х0, r = const. Следовательно, в сечении получаем круг и, следовательно, тело имеет осесимметричную форму с осью симметрии, совпадающей с осью 0х. При m = 0 тело имеет форму шара. Затем с увеличением приливных сил тело постепенно вытягивается в направлении к возмущающей массе. При малых m — форма тела является выпуклой (сфероид). Затем у полюсов происходит уплощение и с дальнейшим увеличением сил образуется перемычка. В самом узком месте перемычка имеет радиус
m
а
При m = 2, n = 1 перемычка вырождается в точку и происходит распад тела на два сфероида (рис. 18.3, а-в: n = 0,1; 0,25; 1, m = 0,2;
0,5; 2).
Другой крайний случай реализуется при m = 0. Из равенств (20) видно, что в этом случае зависимость от угла 9 исчезает:
~ = 1 + cos2 j,
поэтому ось вращения тела становится также и осью его симметрии. Этот случай реализуется, когда величиной m в (20) на фоне других слагаемых можно пренебречь. В частности, когда центробежные силы становятся преобладающими. Здесь критическое состояние реализуется при n = 1. При этом тело приобретает торообразную форму (южный и северный полюса соприкоснулись между собой) (рис. 18.4, а-в: n = 0,25; 0,5; 1; m = 0).
Значение n = 1 является особым и для других значений m. При n = 1 имеем (см. рис. 18.2, граница АВ):
1 + m cos2qj(1 + cos2 j).
Видно, что при любом m, если j ® ±р/2, то и r ® 0. Причем это имеет место для всех сечений тела плоскостями 9 = const (рис. 18.5: n = 1; m = 0,5).
Рассмотрим теперь границу области СВ (см. рис. 18.2). Здесь m = n + 1 и
~ = (1 - n) sin2 j + 2(n + 1) cos29.
Видно, что при всех значениях n всегда есть точка касания, если p
j = 0, 9 = 2 Остался последний участок границы — 0С. На этом
участке n = 0, 0 < m < 1 и r = 1 + m cos2 j cos29.
Итак, это были рассмотрены конфигурации пограничных (или в каком-то смысле особых) фигур тела. Все остальные сочетания параметров (m, n) дают уже типичные случаи.
18.2. Ось вращения тела наклонена к плоскости его орбиты
1. Замкнутая система уравнений. Приливные силы задают одно избранное направление в пространстве, ось вращения тела задает другое направление. Выше рассмотрен вариант, когда эти направления были ортогональны между собой. Перейдем теперь к общему
в
Рис. 18.4.
Рис. 18.5.
случаю, когда системы координат 0xyz и 0x'y' z' между собой не совпадают (см. рис. 18.1):
x = x' cosY - z' sinY, x '= r cos j' cos J', y = y', y'= r cos j' sin J', (22)
z = x' sinY + z' cosY, z'= r sin j'.
Уравнение движения материала вдоль канала остается без изменений. Вся проблема состоит в том, чтобы описать закон изменения объемных сил. Выражение для силы самогравитации от направления оси вращения тела не зависит и поэтому остается прежним. Центробежная сила также не меняется.
Далее о приливной составляющей. Эта составляющая зависит только от положения материального канала относительно возмущающей массы. Поэтому выражение (5) остается без изменений. В рассматриваемом случае вращение происходит вокруг оси 0z поэтому будут выполняться равенства:
g = g 1 + g 2 + g 3,
^ 2 2 2 (23)
R, /2_Fwgwa /3- ^2
g 0 2 2 12 2 2 g1 =-^, g 2 = pw9cos j, g3 = -2 (Г1 x + Г2У + Г3 z ).
Подставляя (22) в (23), после элементарных преобразований получим:
2
g 3 = к'+f' cos2j + h' cos2 jcos2J - G sin2j cosJ, (24)
где
4к '= Г1 + Г2 + 2Г3 + (Г1 - r3)sin2 Y,
2
2f '= Г1 + Г2 - 2Г3 - 3(Г1 - Г3) sin2Y, 4h'= Г1 - Г2 - (Г1 - Г3)sin2 Y,
4G = (Г1 - Г3) sin2 Y.
(25)
Таким образом, задача свелась к определению функции u(a, b, t). Параметры a, b являются лангражевыми координатами канала. Они имеют следующий смысл:
J = a + wkt, j = b, (26)
