Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
за исключением интеграла, учитывающего тур-
252
булентную диффузию. Дополнительное представление об этом можно получить,
сравнив равенство (178) с уравнением (25).
72. Уравнение энергии. Дальнейшее развитие представлений о механизме
турбулентности можно получить, исследуя уравнение, аналогичное уравнению
(26), которое изображает скорость трансформации энергии в турбулентном
потоке. Используя прием Рейнольдса, выражающийся в подстановке средних и
пульсационных компонентов вместо мгновенной скорости и мгновенного
давления, но не осредняя результатов, можно сохранить мгновенный характер
этих уравнений для выполнения необходимых преобразований. Если X* - i-я
компонент внешних сил, то три уравнения Навье - Стокса таковы:
du't , - , ,. d(~Ui + u'i)
Р - + Р (uj + и;)
dt 1 дх.
'j
_ "X,- ¦>(р+Д + Д ("¦ + "') .
dxi dxjdxj
Каждое уравнение умножается на соответствующий компонент скорости Ui = Ui
+ Ui и произведения складываются. Осред-нив слагаемые, получим
дифференциальное уравнение работы и энергии, где символом V обозначена
результирующая средняя скорость, а V' - соответствующая ей пульсационная
составляющая, т. е. V'2 - u'2 + v'2+w'2:
- д ( V2 . ~, д (рК'72) ,
"1^7(РТ + РТ)+"/ +
д ( ири( и . _ _ др , дрг
Н т - = рЫ/Х, -и,-- и -f-
dxj dxi 1 dxi
- Hhj ¦ ' д2 и,
+ р ut . (179)
dxjdxj dxjdxj
В обычной записи это дает
- др - др - др , др' , др , др
- U -К- - V К-- w~- и -V -W -J- -f-
дх ду дг дх ду дг
+ (1 (и\/ги + уу2 у + ^у'3?у) + р, (u'yV + y'yV + w'^w' ).
Из рассмотрения этого уравнения видно не только то, что здесь сохранены
многие пульсирующие напряжения, исчезнувшие в процессе осреднения из
уравнений количества движения, но и то, что существует постоянная
параллель между членами для осредненного и пульсационного движений. В
самом деле, поучительно разделение слагаемых в следующих уравнениях
работы-энергии на две категории: для осредненного потока и для
пульсационного (допустимая операция, так как уравнение для каждого из них
может быть выведено путем комбинации соответствующих уравнений и
компонентов скорости)
- <Э(рУ2/2) , - duiuj -v - др . - d2ui
Uj + ри, --L = Pu,x, - + P Ui --
dxj dxj dx i dxjdxj
- d{aV'l!2) , , d (pV 2,2) , -ж-ж дщ
U . ----------------------b U . --- + P U.U. -
1 dxj 1 dxj r 1 > dxj
dp' , d2,li
dxi 1 dxjdxj
Теперь проинтегрируем дифференциальные уравнения работы-энергии в
заданной области пространства так, как это было проделано с уравнением
движения в форме количества движения. После превращения с помощью теоремы
Гаусса соответствующих объемных интегралов в поверхностные уравнение
работы-энергии для осредненного потока - сравнить с уравнением (26) -
принимает вид:
J4- "/ ж + J ",р"^К "S - j' Кг -
s s w
= j p UiXidW - j p щ dS +
s w
Слагаемые в уравнении (180) имеют следующие значения: крайнее левое
представляет приток кинетической энергии среднего движения из
рассматриваемой области (т. е. скорость увеличения кинетической энергии
по мере протекания жидкости через заданную область). Второе и третье
слагаемые, также представляющие перенос энергии, лучше всего могут быть
интерпретированы как скорости совершения работы напряжениями Рейнольдса
соответственно на поверхности и внутри рас-
254
сматриваемой области. Первое и второе слагаемые справа - скорости, с
которыми совершается работа внешних давлений и внешних сил. Третье и
четвертое слагаемые - очевидно скорость совершения работы вязкими
напряжениями среднего потока соответственно на поверхности и внутри
области.
Но работа, совершаемая вязкими напряжениями вне рассматриваемой области
(третье слагаемое справа), сохраняется полностью (так как из
преобразования Гаусса ясно, что она выводится из потенциальной или
пространственной производной), в то время как внутри области (последнее
слагаемое) работа полностью диссипируется. Аналогия между турбулентными и
вязкими напряжениями позволяет искать дальнейшее соответствие между
типами работ, совершаемых в каждом случае. Действительно, раз второе
слагаемое слева подобно третьему справа неизменно, третье слагаемое слева
может считаться диссипативным, как и последнее справа, если допустить,
что энергия, переданная средним потоком пульсационному, не может быть
восстановлена. Иными словами, третье слагаемое слева представляет
скорость возникновения турбулентности за счет осредненного потока (сам
интеграл существенно отрицателен, так что знак минус перед ним указывает
на положительную скорость возникновения турбулентности).
Соответствующее уравнение работы-энергии для вторичного движения имеет
такой вид:
j
p'u'i ^ dS + L, ( - + - ) и; d- dS
dn J \ dxj dxi j dti
'J
w
s
, du. ди. \ л,,.
<I8'>
Два первых слагаемых слева по аналогии с уравнением для первоначального
движения представляют приток кинетической энергии турбулентности в
рассматриваемую область соответственно путем конвекции и диффузии (т. е.
осредненным и пульса-ционным потоками). Третье - скорость возникновения
