Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
соответствие с безвихревым потоком, f'( со ) должно быть конечным, то из
уравнения (150) следует, что f' ( <х ) = = 1, так что и~щ-рх, где щ
обозначает и( со ). Предыдущее уравнение с тремя граничными условиями
было получено Бла-зиусом и численно проинтегрировано Хейменцом.
Уточненные Ховардем результаты показаны на рис. 83. Из рисунка видно, что
а следовательно, и/х существенно постоянно везде, кроме слоя постоянной
толщины. Это постоянство толщины объясняется
уменьшением давления
Ь6
12
Ofi
оч
у
V V А'
>
7
вдоль пластины по течению потока, компенсирующим нормальный рост толщины,
вызываемый вязкостью. С учетом уравнения (150) второе уравнение движения
становится таким:
dv
d2v
о.а
16
2.4
3,2
Рис. 83. Безразмерные компоненты скорости в ламинарном потоке на
бесконечной пластине
у д h .
. -L- р v ,
ду р ду ду2
что вместе с ранее допущенным соотношением дает
У± = С--------
Р 2
Отсюда и из второго уравнения (150) видно, что в слое, где f' значительно
отличается от единицы, давлЕ
1 / 9 I 9\ 1 dv
- ( и? + V2) + V-.
> ду
220
ние (не учитывая гидростатического эффекта) существенно постоянно при
малом v. Выводы настоящего пункта еще раз подтверждают правильность
допущений теории пограничного слоя, а также влияние уменьшения давления
на рост пограничного слоя, что будет рассмотрено далее.
Пример 17. Бесконечная пластина внезапно начинает двигаться в своей
плоскости с постоянной скоростью U. Показать, что вязкая жидкость вокруг
пластины будет двигаться со скоростью u-a\ е~С dr]+В, где тт = г//2vf,
о
а А и В подлежат определению. Выяснить порядок толщины слоя, приведенного
в движение за время t, и сравнить его с результатами анализа размерности.
Допускается, что равномерное движение жидкости, касающейся пластины,
распространяется так, что u=f(y, t); н=0; w=0. Уравнения Навье - Стокса
сводятся при этом к равенству
ди д2и
!Й~ '
так как градиент давления равен нулю. Это уравнение удовлетворяется
заданным и, но должно быть проверено граничными условиями. Так, при у=О
значение u=U в любой момент времени to¦ Кроме того, при у = 0 величина о
4 = 0 и f e~rl dr\=0, так что B = U. При у= оо значение "=0. Но тогда _ о
0= У л A/2+U и отсюда А=-U. Окончательно получаем
и =U (1 -- erf Г|).
Так как скорость асимптотически уменьшается до нуля при у= оо , то
допускается, что слой, приведенный в движение, кончается там, где u=0,01
U,
что соответствует erf т] =0,99 и г|"1,8. Поскольку г\=у/2У> vt, то б =
3,6|//~vt.
Анализ размерности даст такое функциональное соотношение только при
допущении, что 6=f(p, р, t), т. е., что скорость пластины не влияет на
скорость распространения возмущения.
Г. Приближенные решения уравнений Навье-Стокса
59. Очень медленное движение - решение Стокса для падающего шара.
Приближенные решения уравнений Навье- Стокса могут быть грубо разделены
на четыре категории. К первой относятся те случаи, когда геометрия границ
позволяет использовать существующие точные решения для конкретных
случаев. Во второй категории движение жидкости происходит так медленно,
что в уравнении движения можно пренебречь инерционными слагаемыми. Если
движение не настолько медленно, чтобы это было справедливо, то иногда
удается линеаризировать уравнения Навье-Стокса и таким образом получить
решение. Такие решения образуют третью категорию. В некоторых задачах
инерционными слагаемыми пренебречь нельзя, не внеся значительной ошибки,
но одно из слагаемых, включающих вязкость, мало по сравнению с другими;
решения, полученные пренебрежением этим слагаемым, относятся к четвертой
категории.
221
Одно из решений первой категории было приведено в связи с точными
решениями уравнений Навье-Стокса. В этом и в последующих разделах будет
рассмотрено по одному или по два характерных случая, относящихся к каждой
из оставшихся трех категорий. Так как основное значение придается
методологии, для рассмотрения выбраны только типичные случаи,
иллюстрирующие метод и интересные с практической точки зрения.
Как показал Стокс более 100 лет назад, конечная скорость U твердого шара,
медленно падающего в бесконечной жидкости, зависит от радиуса шара а,
разницы удельных весов твердого тела и жидкости Ду и вязкости р.
Плотность жидкости не учитывается, ибо движение шара предполагается очень
медленным, так что ускорение жидких частиц практически равно нулю и
инерцией можно пренебречь.
Если теперь к величинам U, а, Ду и р применить анализ размерностей,
получаемый единственный безразмерный параметр может быть назван числом
Стокса
Так как никакой другой параметр здесь не участвует, число Стокса, как
показано в главе I, должно быть постоянным. Тот факт, что одного анализа
размерностей достаточно для определения закона скорости падения U, за
исключением постоянной, указывает на его целесообразность. Использование
этого метода для данной задачи, однако, ограничено тем, что число Стокса
может быть определено только экспериментально или путем математического
