Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
представляют одно и то же поле скорости.
3. Безвихревое движение невозможно в жидкости, где скорость исчезает в
бесконечности по крайней мере с быстротой, обратно пропорциональной
квадрату расстояния, если внутренние границы находятся в состоянии покоя.
Доказательство по
существу то же, что и для теоремы "1", за исключением того,
что здесь рассматривается наружный случай.
4. Если жидкость находится в состоянии покоя в бесконечности, тогда
безвихревое движение, вызванное заданным движением внутренней границы,
единственно. Доказательство осуществляется объединением теорем "2" и "3".
5. Если жидкость движется в бесконечности с равномерной скоростью, тогда
безвихревое движение, вызванное заданным движением внутренней границы,
единственно. Доказательство: пусть данная система движется со скоростью,
равной скорости жидкости в бесконечности. Это, конечно, не оказывает
никакого влияния на движение жидкости. На основании этой системы получаем
случай "4".
В качестве второго приложения теоремы Грина уравнение (35) применяется к
наружной зоне простой замкнутой поверхности S и малой сферы S' около
точки Р, расположенной вне поверхности S, с функцией ф, которая является
гармонической, исчезающей с достаточной быстротой в бесконечности, и с
функцией ф=1//?, где R - расстояние от Р. Тогда
где положительное значение перпендикуляра соответствует направлению
внутрь зоны, ограниченной S и S'. Так как данный
6:
75
шар очень мал и ф и дф/dR непрерывны в точке Р, второй и последний
интегралы могут быть записаны следующим образом:
i JL(-L)dS'xz ^
дп \ R j R2
63 S'
JL. Г dS' = - 4яР
R dn R \ dR Ip J \ dR
S' S'
Поскольку P приближается к нулю, последний интеграл, следовательно,
исчезает и тогда получаем
4 пф(Р) =
s
_L. J_(_L
дп dn \ R
dS, (37)
т. e. выражение для ф в любой точке Р, представленное через величины ф и
дф1дп на данной поверхности. В п. 31 будет рассмотрена иная интерпретация
этого результата, подсказанная формой подынтегрального выражения,
заключающаяся в том, что произвольная гармоническая функция может быть
выражена в форме поверхностного распределения источников напряжением М" =
дф1дп и их диполей с осями, перпендикулярными данной поверхности,
напряжением А" = ф-
Если и, v и w - компоненты скорости в зоне безвихревого потока
несжимаемой жидкости, а 5 - поверхность, окружающая гармоничную область,
тогда, поскольку объем потока жидкости, проходящей через данную
поверхность, равен нулю, получаем:
дх , ду . дг \ , с
и + v - + w - dS
дп дп дп j
s
= C(W-.*L+M. dy_+W..^.)dS= f^dS = 0.
J \ dx dn dy dn dz dn j J dn
s s
Это соотношение приводит к теореме среднего значения, которая может быть
сформулирована следующим образом: среднее значение потенциала над
поверхностью шара, окружающей гармоническую область, равно значению
потенциала в центре этого шара.
Для доказательства запишем обычное определение среднеарифметической
величины в форме
-- Г фdS.
4л R* J г
S
ср
Поскольку поверхность имеет шарообразную форму, элемент dS равен P2dФ,
где R - радиус шара, a d<b-телесный угол,
76
стягиваемый дугой dS. Из только что выведенного уравнения получим
0= C-^dS= [^R4 Ф = я2-^- Г фйФ.
J дп J dR дЯУ
Отсюда 1фйФ = const и, следовательно,
IфЯЧФ = тЛф',ф = const'
В данном случае радиус шара может уменьшаться неограниченно, пока среднее
значение потенциала станет равным его значению в центре. Эта теорема
подводит к нескольким выводам, которые часто используются при решении
задач безвихревого потока:
а) потенциал не может иметь максимума или минимума внутри гармонической
области. Доказательство основывается на том факте, что максимум или
минимум представляет величину иную, чем средняя по всему шару с центром в
этой точке;
б) максимальная величина скорости должна быть у границы; отсюда, по
уравнению Бернулли, минимум давления должен также существовать у границы.
Следует заметить, однако, что минимум скорости может находиться внутри
гармоничной зоны, поскольку она равна нулю в точке застоя, как, например,
в точке, расположенной на равном расстоянии между двумя одинаковыми
источниками (см. п. 31). Для доказательства берем ось х в направлении
предполагаемого максимума скорости и применяем вывод "а" к потенциальной
функции дф/дх.
30. Классификация задач безвихревого течения. Хронологически первой
граничной задачей потенциальной теории была проблема вычисления
гармонического потенциала во всей зоне при заданных величинах потенциала
на границе. Доказательство существования такого потенциала и выражение
его для данных условий известны как проблема Дирихле. Примеры этому
общеизвестны в электростатике, где наружное поле отыскивается по
потенциалу на поверхности проводника. В потоке жидкости примером является
установление потенциала, соответствующего определенным свободным линиям
тока. Так как, согласно п. 28, функция тока для двухмерного течения
удовлетворяет всем требованиям потенциала, линия тока может
