Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
достаточные для нахождения определенного решения в ламинарном потоке.
Уравнение количества движения для установившегося осесимметричного потока
может быть выведено умножением уравнения (225) на г и интегрированием его
по у от 0 до б. Тем же методом, что и для двухмерного потока, получаем
выражение в обозначениях толщин осесимметричного пограничного слоя [см.
равенства (203)]:
1 2 + Я
- • -т- (' о ба) + -77- л0 ах и
dU
dx
б2 = --2 2
v sin2 ft r0U2
I V йУ +
dx
ru'2dy+ \rdy~- Y^rdy 'dy\'
(226)
Члены, содержащие турбулентные пульсации скоростей, здесь также являются
поправками, которыми раньше при рассмотрении турбулентного пограничного
слоя пренебрегали.
Уравнение энергии для установившегося осесимметричного потока может быть
получено умножением уравнения (225) на ги и интегрированием его по у от 0
до б. Тем же методом, что и в случае двухмерного потока, получаем
выражение в обозначениях толщин осесимметричного пограничного слоя [см.
равенст-
б
-- и
vU2
d(ru'*L л. r JL Г li^JLdy
дх дх ,! г ду
о и
dy, (227)
где А = ------- г х---dy -коэффициент диссипации для осевой
!l raU2 J ду
о _
симметрии (здесь % = p. JJL p"V j .
Уравнения энергии и количества движения - обычные линейные
дифференциальные уравнения, которые играют важную роль в различных
приближенных методах решения проблем пограничного слоя.
85. Трехмерный поток вдоль произвольной поверхности. Проблемы
трехмерного пограничного слоя освещены в литературе в гораздо меньшей
степени, чем проблемы двухмерных или осесимметричных потоков; попытки
получить общий метод решения были сделаны лишь недавно. Затруднения
вызваны в основном не столько присутствием дополнительных компонентов
главной скорости, параллельной стенке, сколько взаимодействием различных
компонентов.
Если линии тока вне пограничного слоя криволинейны, градиент давления,
нормальный к линиям тока и параллельный поверхности, создает так
называемые вторичные течения. Появление этих вторичных течений
объясняется тем, что под действием градиентов давления жидкость в
пограничном слое, движущаяся более медленно, следует по траекториям с
меньшим радиусом кривизны, т. е. поскольку ускорения нормальны к линиям
тока, параллельны поверхности и почти не зависят от расстояния до стенки
в пограничном слое, то два элемента потока со скоростями щ и v2 будут
двигаться по траекториям с радиусами кривизны Гу и т2, связанными
соотношением
'Л
Гг,
VZ
Таким образом, поперечная кривизна линий тока увеличивается с
приближением к стенке, в результате чего может возникнуть спиральное
движение жидкости.
Это движение иллюстрируется круговым потоком в твердых границах, где
жидкость перемещается от гра- Рис. 105. Ортогональные координаты
для трехмерной поверхности
20*
299
ниц внутрь по радиусу, как это видно по концентрации нерастворимых
твердых частиц в центре чашки чая после помешивания. В основном по той же
причине при обтекании несимметричного тела в пограничном слое возникают
вторичные течения, направленные от зон с наибольшей поперечной кривизной
(например, подводная часть корабля).
Уравнения пограничного слоя для этого наиболее общего случая лучше всего
вывести в системе ортогональных координат, построенных около данной
поверхности (рис. 105). Свойства этой ортогональной системы координат,
необходимые, для упрощения и сокращений равенств Навье - Стокса и
уравнения неразрывности, даны в приложении. Уравнения пограничного слоя
получают вид:
Первое слагаемое в уравнении (230) сохранено потому, что оно является
доминирующим в турбулентном потоке.
Заметная разница между этими равенствами и равенствами для ранее
рассмотренных частных случаев состоит в наличии кривизны К\ и К.2
ортогональных поверхностей а = const и (3 = = const. Это не означает, что
главная кривизна Кз и Ка заданной поверхности 5 не существенна, так как
величины Нх и Н2, входящие в уравнения в явном виде, зависят от Кз и Ка.
Кроме того, когда величина б становится соизмеримой с l/Кз или 1/Ка, что
легко может произойти на достаточном расстоянии от начала длинного
обтекаемого тела, в вышеприведенные равенства необходимо вводить
дополнительные члены, содержащие эту кривизну, как это было сделано для
осесимметричного потока.
Случаи применения этих общих уравнений пограничного слоя очень редки.
Говард получил решение для окрестности точки отрыва, а Прандтль и
Тетервин вывели трехмерное уравнение количества движения для
прямолинейных координат. Прандтль предложил использовать уравнение
количества движения для определения характеристик пограничного слоя. И
хотя это предложение не получило дальнейшего развития, тем не менее
большой интерес к трехмерному пограничному слою служит доказа-
-Г KiU K2v - 0. (231)
К2и*=
(228)
(229)
(230)
300
тельством того, что методы решения этих равенств скоро станут доступными.
Пример 25. Пренебрегая влиянием турбулентных пульсаций, показать, как
получить б2(х) при заданных Н, U, dU/dx и С_.
