Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
где р0 - произвольный масштаб, В иной форме, которая, пожалуй, более
содержательна, она записывается так:
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях 273
(2-75)
причем имеется сингулярность при Ц = (Jgexp [ 6 тг2 е-2(ц0)]
(2.76)
(знаменитая сингулярность Ландау)- Но задолго до того, как мы достигнем
столь больших масштабов, уравнение (2,74), выведенное в рамках теории
возмущений, придется исправить с учетом эффектов высших порядков,
которыми нельзя пренебрегать при больших масштабах масс из-за знака в
правой части. Когда имеется много заряженных фермионов, каждый из них
вносит вклад в (2.74) в соответствии со своим зарядом (см, задачу).
То, что электрический заряд становится все слабее и слабее на больших
расстояниях (т-е, при малых масштабах), означает, что вполне оправданна
интерпретация свободного лагранжиана (е = 0) на осноеё представления о
физических фотонах и,например, электронах. Правда, дальнодействующий
характер электромагнитного поля делает такую интерпретацию не совсем
надежной , но факт остается фактом, что электроны и фотоны можно
наблюдать в лаборатории в свободном состоянии,
А. покажите, что логарифмически расходящаяся, на перйый взгляд.
обращаются в нуль,
В. Найдите зависимость е от ц в низшем порядке, если имеется 3пи
кварков с зарядом 2/3, 3nd кварков с зарядом - 1,/3 и пг лепто-нов с
зарядом - 1" Предположите, что е2(ц0)/4тг = 3 /137 при ц0 =
Задачи
ящичная диаграмма рассеяния света на свете
самом деле сходится,
Б. Покажите прямым вычислением, что диаграммы
на
274
Глава 8
= 1 МэВ, и найдите положение сингулярности Ландау в случае, когда
включены известные заряженные фермионы. Сколько сортов фермионов нужно
для того, чтобы особая точка Ландау соответствовала планковской массе?
*Г: Рассмотрите электродинамику (заряженного) скалярного поля" Выведите
фейнмановские правила и вычислите поляризацию вакуума от скалярной петли.
Сравните результат с тем, который уже получен для фермионной петли.
,*Д. Вычислите контрчлены Zy, Z2, Z3, Zm, Za в произвольной ковариантной
калибровке, т.е. считайте при вычислениях величину а произвольной.
Покажите, что хотя контрчлены z зависят от калибровки (от а)^ р - функция
от нее не зависит.
§ 3. КЭД. тождества Уорда
Вследствие локальной калибровочной инвариантности КЭД не все функции
Грина, порождаемые функционалом
х. х] = #/$4 Фффув-Злм" ~<Vu + +<5х>ж
(3.1)
независимы" В этом выражении
^ эф ф = /d*x[ -i- (Гцу)2 + (д • А)2 + Т(<Э + ieA)y +
тцлр]
(3.2)
и J ц> X" X - источники, причем последние два - грассмановы" Производящий
функционал (3.1) не инвариантен относительно калибровочных преобразований
5Л = J. ... диА(х), 6W = - г А(х')Ч'(х), 5ЧР = г А(х)47(х), (3.3)
е и
где А(х) - произвольная функция. Это объясняется наличием в 5Эфф члена,
фиксирующего калибровку, и источников. Мы выведем в этом параграфе
систему функциональных уравнений связи для Z, из которых получим
соотношения между функциями Грина, называемые тождествами Уорда.
Метод, который мы намереваемся использовать, легко обобщается на более
сложный случай янг-миллсовских теорий; он основан на работе Бекки, Руэ и
Сторы (БРС) [ 1 ]" Первый шаг заключается в том, чтобы, пренебрегая на
время источниками, восстановить определенный тип ин-
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях 275
вариантности даже при наличии члена, фиксирующего калибровку- Зго
достигается восстановлением лагранжиана духов, что в данном абелевом
случае равносильно всего лишь переопределению (бесконечной) постоянной
нормировки N* Новое эффективное действие дается выражением
ХэфФ- fd*x[ Jr(FVLV)2^nd + ieA)^ + i^ +
+ h{8' Л)2 + гЛпЧ^" <3,4)
где т| и д* - комплексные грассмановы поля. Теперь действие инвариантно
относительно специального калибровочного преобразования
*Л + 1г\т). (3-5)
"¦ (?.*л + + (3-6)
5ц - - _L_ (д • А%, 6П* J- (<3 - 4)5 * , (3,7)
о: е а в
где ? и ? * - комплексные грассмановы переменные, не зависящие от х, В
результате таких преобразований мы получаем выражение
65'эфф = _L jd*x[l_ (д. А)д2(1*г) + 5п*) ~
? а
_ J--(д. А) д%*ц - _L_ (д • A) dW, (3,8)
а а
если проинтегрировать по частям вариацию последнего члена в формуле
(3,4), Выше мы использовали следующее правило для двух грассма-новых
чисел аи х'-
(сох)*=-"*х*, (3,9)
так что произведение с* действительно, если действительны "и х-Вудем
исходить теперь из нового производящего функционала
<?~2 t/M. X, X- о, cr*] =
- Л" /(r)ЛцФч'ФУ1Вт1*ФЛе'5эфф-<^'4+^Х + Х^ + Л^+^*>, (ЗЛ0)
276
Глава 8
где аист*- комплексные грассмановы источники для полей-духов. Сместим в
этом выражении поля с помощью преобразования БРС
(3.5) - (3.7): поскольку действие S 'Эфф инвариантно относительно этого
преобразования, а якобиан преобразования БРС равен единице (см. задачу),
при этом изменятся только члены с источниками. Сравнивая два спосооа
записи производящего функционала (3.10), легко находим, что
- S 'j-j. + </ • 4 + . ¦ < J • 5.4 + i х8ш +
