Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
тегрирование по всем полевым конфигурациям привело бы к чудовищному
увеличению числа лишних бесконечных интегрирований и сделало бы интеграл
по траекториям еще более бесконечным, чем обычно*
В приложении А мы рассмотрим случай, когда подынтегральное выражение
зависит не от всех переменных, по которым ведется интегрирование- Мы
увидим, что в этом случае интеграл можно определить путем ловкого
изменения меры; новая мера, сохраняя ковариантный вид, содержит
ограничивающие множители, благодаря которым интегрирование производится
только по существенным переменным- На применении подобного метода к ФИТ
для калибровочных теорий основана процедура Фаддеева - Попова-
Но можно также потребовать, чтобы ФИТ имел реальный смысл только на
уровне гамильтонова формализма в духе квантовомеханического соответствия
гл- 2- Оказывается, что оба метода дают один и тот же результат- Тем не
менее полезно рассмотреть и тот и другой методы-
§ 1. Гамильтонов формализм в калибровочных теориях, абелев случай
Для начала рассмотрим случай абелева поля (максвелловская теория)-
Лагранжиан имеет вид (F = duAv -о^ Ац)
? = - -1_FMVF^V = - J_.[2FoiFoi +Fi/FiH. (1.1), (1.2)
Определим канонические импульсы
Интеграл по траекториям в калибровочных теориях___________233
' ' -ж?л*Г (1'31
и постулируем следующие значение фундаментальных скобок Пуассона (СП) при
совпадающих временах:
f'V*' О" -%(у> Oicn =~ Snv5(* -у)> (1-4)
а все остальные СП при совпадающих временах обращаются в нуль-Плотность
гамильтониана дается выражением
Н(х, 0"п^0Лм_?. (1.5)
Для любой функции / канонических переменных А и тгц уравнения движения
имеют вид
/ = {/, Н\ , (1.6)
где Н - энергия, определяемая как
H = fd3xK(x, t). (1.7)
Намеченная нами каноническая процедура легко проводится во многих
случаях, например в скалярной теории поля" Но если мы применим ее к
калибровочным теориям, то сразу же столкнемся с трудностями"
Действительно, подставив (1.2) в (1.3), найдем, что в абелевой
теории
** р> (1°8)
откуда в силу антисимметрии F^v следует, что
¦п^= 0. (1.9)
Это. противоречит фундаментальным СП при ц = v = 0, Поэтому, если мы
хотим сохранить фундаментальные СП, нам следует подходить к равенству
(L9) как-то по-особому. Все же продолжим еще немного вычисления и найдем
наивный гамильтониан, который мы обозначим через HQ " Из формул (1.5) и
(1.7) путем интегрирования по частям получим
HQ=fd3x -Ft j F1! - +Л0<Э1тт'], (1.10)
и мы видим, что скорости исчезли из этого выражения; в этом и заключается
весь смысл гамильтонова формализма. Но равенство
234
Глава 7
тг 0 = 0 означает, что замена переменных, связанная с переходом от
скоростей к импульсам д0 Ац -* тгц, сингулярна (вы не можете отобразить
четыре вещи в три, не заплатив за это)" Следовательно, определение
гамильтониана К неоднозначно: к нему можно добавить любую произвольную
функцию, пропорциональную тг0 . Запишем новый гамильтониан в виде
Я = Я0 +fd3xFn0, (Ы1)
где F -произвольная функция" Чтобы выяснить смысл функции F,
воспользуемся уравнениями движения (1"6) при / = А 0. Тогда
Ао ={А0, Н1СП = F, (1.12), (1.13)
причем мы использовали фундаментальные СП (1.4). Если бы функция F
зависела от канонических переменных, то в выражении (1.12) были бы
дополнительные слагаемые, но они все равно умножались бы на ¦тт0 и в
конце концов обращались бы в нуль. Поэтому без потери общности можно
считать, что F не зависит от канонических переменных. Отсюда вытекает,
что если в заданный момент времени tQ мы имеем некоторое определенное
значение функции А0, то в момент времени 10 + st ее значение будет
определяться совершенно произвольной функцией. Что же это означает ?
Дополнительный член / d3xFnQ вызывает изменение переменной А0) но
оставляет неизменными Ai, что эквивалентно калибровочному преобразованию
Лц-*4ц + дцХ , (1"14)
в котором Цх, f0) = 0, но Цх, t0)^ 0" Таким образом, дополнительный член
в формуле (1.11) приводит к специальному типу калибровочного
преобразования"
Но это еще не все" Посмотрим теперь, пользуясь формулами (1"4) и (1"Ю),
как изменяется тт° :
¦"о = * Н 1сп = " (*' ?1° (1-15)
Но, согласно канонической процедуре, тт0 = 0 во все моменты времени"
Отсюда мы получаем другое ограничение
д; тг* =0" (1" 16)
в которое входят только канонические импульсы! Прервем на мгновение наши
выкладки" Сначала, исходя из канонической процедуры, мы получили,
Интеграл по траекториям в калибровочных теориях___________235
что тт° = 0" Дирак называет такой", тип ограничений первичной связью*
Затем, пользуясь уравнениями движения, мы нашли другое ограничение на
величины тт. Этот тип ограничений Дирак называет вторичной связью [ 1].
Таким образом, у нас стало еще больше соотношений между величинами тт.
Создается впечатление, что мы отображаем четыре скорости на два
независимых импульса тт. Чтобы отразить этот дополнительный произвол, мы
должны добавить еще один (дополнительный) член к гамильтониану Н, имеющий
вид
Ндоп = I d3xG(x, t)d; тт' (х, О- (1"17)
