Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
сокращается с первом членом разложения величины (4ттр2/т2)2 в результате
чего остается конечный вклад при со-" 2. Такое положение сохранится при
вычислении всех расходящихся диаграмм. Таким образом, мы заключаем, что
расходимость в Т проявляется в виде простого полюса, а конечная часть Т,
которая в данном случае
134
Глава 4
не зависит от внешних импульсов, полностью произвольна, поскольку на нее
влияет изменение ц2.
Следующая диаграмма - "рыба"; р, Р* р. + р, = р +
р.
р, г*
По фейнмановским правилам
}СУ\_____________________________________________________________________
___________________________________________________
2 (l2+m2) [(l~p)2+m2]'
(4.7)
Так как здесь в интеграле по петле имеется более одного пропагатора,
можно для удобства ввести фейнмановскую параметризацию, основанную на
формуле
1 Г (а1 + а 2 + " • • + о '
I • • • J ах.* •• йХкх
О, 1 D"a . . . D°kk Г (о ,)Т(а 2) , , , Г (а д.) о о 1
"и VI
Б(1 \..х,
X _______
(01*1 + . . . + Dkxk)a' + . , . +-а*
(4.8)
Она позволяет в удобной форме перегруппировать импульсы в петле. В данном
случае используем ее в виде
1 I 1
= f dx
(I 2 + т2)[ (I - р)г + т2] о [ I 2 + т2 - 21 . р(1 - х) + р2{1 - х)]2'
Знаменатель можно переписать в виде (4.9)
I '2 + т2 + р2*(1 - х), V = I - р(1 - х). (4.Ю)
Так как мы имеем дело со сходящимися интегралами, можно положить d2 Ч ' =
J2 WZ и обозначить I' через I в интеграле по петле. В результате имеем
Id^l " Т"(р2)4 2"0/</ж/ (Ьр^" [12 + т2 +Р2*(1 - х)]2
(4.11)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория <?4_________135
Благодаря указанному приему можно теперь воспользоваться формулой (Б.16)
и взять интеграл, получив при этом
-?-(и2)4"2ю/Л6.Г(2"") 1
О
(4u)w [m2 + р2*(1 _*)]2 -6
(4.12)
Прежде чем производить разложение, вспомним, что размерность диаграммы
равна (ц2)2 это мы и получили. После разложения имеем
32тг2
О
_ Ь( "f. ±-> t 0(2 - ")| - (4.13)
4-ггц2
зТ?~ [ТГ^- *
xU(".V-*(1~*.). )Ю(2-И)]. (4.14)
4тгц2
Еще раз отметим, что конечная часть произвольным образом зависит от ц2 ,
хотя в данном случае она зависит и от внешних импульсов. Подчеркнем, что
такой произвол в конечной части связан с методом вычислений, а именно с
тем, что расходящееся выражение разделяется на расходящуюся и конечную
части (ведь "> + 5 = оо + 6!).
Остается проинтегрировать по фейнмановскому параметру х. Так как величина
зс(1 - х) всегда положительна [0< зс(1 ~ х) < 1/4] в области
интегрирования, аргумент логарифма всегда положителен, что позволяет
легко вычислить интеграл. Воспользуемся формулой
f dx In [1 + --- х(1 - ж)] = - 2 + у/\ + а 1п(.- ----- ), о
> 0.
о а у/\ + а -1
(4.15)
В результате получим
= ("2)2'" 3^"[2~Г +т(1) + 2 + 1п
136
Глава 4
/1 4(tm)2 i l VT7W + 1 /л iе\
^ "1,l7TTT77rrU0|2-d1' ( 1
При вычислении четырехточечной функции возникнут три подобных вклада с р
= р1 + Pz> р = Pi + Рз и р = р1 + Рд> отвечающих вкладам s-, и u-каналов
(предупреждение: все импульсы считаются входящими). Рассмотренная
диаграмма вычислена в евклидовой области; продолжение в пространство
Минковского повлечет за собой изменение знака величины Р2 и потребует
внимательной интерпретации результата.
Но в том виде, как это пока что записано, конечная часть не содержит
никакой интересной аналитической структуры до тех пор, пока р2 > 0. Мы
вернемся к этому вопросу, когда дойдем до интерпретации результата в
пространстве Минковского.
Тем же методом вычислим диаграмму "двойной ковш":
Ё
= -1- л2(ц2)4 -1______________rJ^L
4 (2тт)2" I2 + тг (2тт)2"
(4.17)
(? + т2)2 1024тг4 (2 - со)2 (Г^
4ттр2
x[21nJL^L_ + ^(2) + ^(1)]+ 21n2
тг
4 Л
+ 21п~~2- М2) + ТО)) + -[(4^(2) +
2тт
^(1))2 + ^'(2) -чр'(1)] + 0(2 - ш)!. (4.18)
Отметим появление двойного полюса и произвольность вычета в простом
полюсе и конечной части.
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4
137
Наконец, детально вычислим диаграмму "заходящее солнце"
Полезно сделать это подробно, так как
диаграмма содержит две петли. Обозначим вклад этой диаграммы через 1(р).
По фейнмановским правилам
X2 , d2a>l d2c*q
2(P>=4-V)4-2"j ,'о'ЛТы J
(2тт\2" J (2тг)2 " 1
(I2 +m2)(q2 + m2)([q + p-l]2 + m2)
(4.19)
В диаграммах, содержащих несколько петель, ультрафиолетовые расходимости
проникают в интегралы по параметру. Желательно иметь в этих интегралах
возможно меньше расходимостей. Это означает, что, прежде чем вводить
фейнмановские параметры, нужно с помощью специальной техники
преобразовать выражение (4.19), несмотря на то что интеграл в худшем
случае расходится логарифмически. Воспользуемся следующим приемом.
Преобразуем подынтегральное выражение в формуле (4.19) с учетом равенства
1 _ 1 г д1" dqu
1-- 1-¦-*- 1
и выполним интегрирование по частям; находим
Z(p) = - _J (|,2^4-2со| d2al d2 wq Д
4ш 6 (2тт)2 " (2тг)2" м SI
д 1
V ^ 9ц + m2){q2 + m2)([q + р -I]2 + т2) ' ( ' )
причем мы отбросили поверхностные члены, имея в виду аналитическое
138
Глава 4
продолжение, о котором говорилось в связи с однопетлевыми диаграммами
