Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
вероятность., Комплексный потенциал в классической физике означает
поглощение, т.е. превращение материи в ничто; ясно, что это нам не
подходит.
3. Мы требуем, чтобы из действия S следовали классические уравнения
движения, содержащие производные не выше второго порядке. В классических
системах, описываемых дифференциальными уравнениями более высокого
порядка, обычно имеются непричинные решения. Хорошо известный пример -
уравнение Лоренца - Дирака в электродинамике. Это дифференциальное
уравнение третьего порядка, включающее эффекты реакции излучения и
обнаруживающее такие непричинные явления, как ускорение частиц до их
взаимодействия с излучением. Чтобы удовлетворить указанному требованию,
мы рассматриваем такие лагранжианы ?, которые содержат не более двух
операторов <ЭЦ. Вследствие этого классические уравнения движения
(возведенные в квадрат в случае спинорных полей) будут содержать
действующий на поле оператор д^д И. Когда уравнения движения превращаются
в условие на собственные значения этого оператора, мы говорим, что имеем
дело со свободной теорией поля, так как можно отождествить с оператором
Казимира группы Пуанкаре, а уравнения движения ограничивают наш выбор
представлением, отвечающим (свободной) частице.
4. Принимается, что действие S инвариантно по отношению к группе
Пуанкаре, как уже говорилось выше.
5. Могут быть дополнительные требования инвариантности, действия S. И
действительно, феноменологический успех калибровочных теорий указывает на
то, что функционал действия должен быть инвариантным относительно
необычных новых преобразований, включающих новые степени свободы,
подобные электрическому заряду, слабому заряду, цветовому заряду и другим
зарядам, которые еще предстоит открыть. Калибровочные теории строятся на
действиях, инвариантных относительно локальных (т.е. зависящих от х)
преобразований, совершаемых среди этих внутренних степеней свободы. Позже
мы подробнее рассмотрим этот вопрос.
В классической теории действие имеет вполне определенную размерность
ML2T~l углового момента, или, что эквивалентно, постоянной %. В
естественной системе единиц, в которых К = 1, действие S становится
"безразмерным". Следовательно, лагранжева плотность в четырех измерениях
имеет естественную размерность L~4 .
(r) Далее в книге автор часто указывает только показатель п в выражении Ln
для размерности каких-то величин. - Прим. перев.
38
Глава 1
Рассмотрим действие Т2
S(t" т21 [Ф])= f d4x ?(Ф,^Ф), (5.4)
где Ф(х) - любое локальное поле или любая совокупность локальных полей (
они могут быть скалярами, спинорами, все индексы мы опускаем); т, и т2 -
границы области интегрирования. Изменение действия S при произвольном
изменении Ф на величину 5Ф таково:
SS = }2 d4x S? =/ d4x (JjL бфк-^- 5(9"Ф)). (5.5),(5.6) 1 дФ д(д^Ф)
Так как при этой вариации х не меняется, мы имеем
б(^Ф) = <?у(5Ф). (5.7)
Выражение (5.6) можно преобразовать к виду
т 2 дР Т2 ^р
5S =•/ "/"*( - ) 5Ф + / d4x 5Ф).
дФ д(дрФ) Tj д(<?цф)
• 1
(5.8)
Последнее слагаемое здесь - поверхностный член, который можно переписать
в виде интеграла по поверхности
г <??
7 К я а 5Ф' (5'9)
а М <^|дФ)
где а - граничная поверхность, a da - элемент этой поверхности. Потребуем
теперЬ, чтобы вариация 5Ф была равна нулю на поверхности а . Из
требования стационарности действия S при произвольном изменении 5Ф,
равном нулю на границах, мы получаем уравнения Эйлера -Лагранжа
а? д1
сЦд^Ф) <9Ф
которые представляют собой классические уравнения поля для системы,
описываемой действием S. Можно рассматривать выражение (5.10) как
функциональную производную действия S по Ф. Еще раз подчеркнем, что она
хорошо определена только для таких вариаций, которые обращаются в нуль на
границах области интегрирования. Как одно из важных следствий
отбрасывания поверхностного члена отметим,
Функционал действия
39
что можно получить те же самые уравнения движения, задавшись новой
лагранжевой плотностью
?'=?+:<у\м (5Л1)
с произвольными Др. Подобное изменение лагранжиана ? приводит к изменению
действия S, полностью зависящему от выбора граничных условий для полей,
входящих в ?' (такой свободы нет в присутствии гравитационного поля).
Преобразование, связывающее ? и ?', в классической механике называется
каноническим преобразованием. Заметим также, что добавление к лагранжиану
? постоянной величины не меняет характера классической системы, но
оказывает влияние на связь системы с гравитационным полем, поскольку
такая добавка порождает бесконечную энергию.
Посмотрим теперь, как меняется действие в результате пока еще
неконкретизированных (но не произвольных) изменений координат бя^ и полей
5Ф. Изменению координат отвечает изменение меры интегрирования, даваемое
формулой Якоби
5{d*x) = d*x ди8х". (5.12)
Отсюда следует, что т2
6S = f d4x (йцбж^+:б?). (5.13)
С учетом формулы (4.4) получим
S? = 6*^?f б0?= (5лз)
•)(c) Д Р
= -6*и<?ц? + _----- 50Ф + 5 <9 Ф. (5.15)
М <ЗФ <2(<?МФ) ° ^
