Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
структуры (добавим, что они могут быть и стохастическими [12]). И другое
отличие - для самоорганизации условия на периферии неравновесной
диссипативной среды не столь существенны, как для автоколебаний.
Явления самоорганизации даже в рамках нашего определения весьма
разнообразны. В их числе можно назвать возникновение диссипативных
структур, уединенных фронтов (волн горения [11], волн попу-
516
Глава 24
ляций [16, 7]), импульсов (в нервных волокнах [13, 14] и автокатали-
тических реакциях [9]), ведущих центров и ревербераторов (сердечная ткань
[17], кооперации амеб [10], волны депрессии в тканях мозга и сетчатке
глаза [18]) и др. По этой причине у явления самоорганизации не один
математический образ (как странный аттрактор для стохастических
автоколебаний, или предельный цикл для периодических), а несколько: это
предельный цикл - для периодических диссипативных структур; странный
аттрактор - для стохастических; сепаратрисы, идущие из одного состояния
равновесия в другое, - для распространяющихся фронтов и т. д.
Тем не менее многие явления описываются теорией самоорганизации в рамках
единых моделей, математически выражающихся нелинейными кинетическими
уравнениями диффузного типа:
du/dt = f(u) + DAu. (24.1)
Здесь и - набор физических (химических и т. д.) переменных, который
определяет нелинейную кинетику в отсутствие диффузии, D - матрица
коэффициентов диффузии (в общем случае D также зависит от и - нелинейная
диффузия).
Рис. 24.2. Зависимости скорости изменения и в "точечной" системе от и в
случае беспорогового (Д) и порогового (Д) распространения фронта волны
(если /(и) имеет пять (и более) нулей, в системе (24.2) могут
возбуждаться несколько устойсивых волн с разными амплитудами) (а) и
траектории на фазовой плоскости Wu для f(u) = -const(u - ui)(u - u-z)(u -
из) (б)
Конкретное обсуждение явлений самоорганизации мы начнем с анализа
уединенных фронтов. Для определенности будем говорить об установлении
стационарного распространения пламени. При этом происходит реакция
окисления, в ходе которой высвобождается тепло. В процессе горения
участвует сравнительно тонкая область, в которой происходит химическая
реакция, т. е. область, отделяющая холод-
24.1. Основные явления, модели, математические образы 517
ное горючее от продуктов сгорания, движется относительно горючего
вещества с постоянной скоростью, не зависящей от начальных условии.
Фронту волны горения соответствует частное решение системы
дифференциальных уравнений в обыкновенных производных для стационарных
волн. В фазовом пространстве эти решения изображаются сепаратрисой,
соединяющей два состояния равновесия (рис. 24.2), одно из которых
соответствует значениям переменных перед фронтом (реакция еще не
началась), а другое - за фронтом (реакция закончилась).
Для аналитического описания наиболее прост случай одномерного горения
(пример - распространение пламени по бикфордову шпуру). Будем считать,
что процесс описывается одной переменной и, тогда вместо (24.1) получаем
кинетическое уравнение
du/dt = f(u) + Dd2u/dx2. (24.2)
В уравнении (24.2) и(х, t) может быть температурой, численностью живых
особей, концентрацией сгоревшего топлива и т. п. Скорость изменения и в
системе без диффузии (d2u/dx2 =0) - так называемой "точечной" системе -
определяется функцией /(и). Для рассматриваемого класса неравновесных
сред f(u) имеет вид кривых, представленных на рис. 24.2а.
Введем "бегущую" переменную ? = х + vt. Тогда из (24.2) находим для
стационарных волн vdu/d? = /(и) + Dd2u/dl;2, или
DWdW/du - vW + /(и) = 0, (24.3)
где W - du/dt/. Если /(и) задана и заданы граничные условия для W, то из
(24.3) можно найти v - скорость распространения волны.
Впервые такая задача была поставлена и решена в [22] при анализе
следующей биологической проблемы. Пусть некоторая большая территория
занята определенным биологическим видом с определенной концентрацией W.
близкой к единице. Вдоль границы рассматриваемой территории будет
находиться область промежуточных значений концентраций, а за пределами
этой области можно считать W близкой к нулю. В результате "положительного
отбора" территория, уже занятая видом, будет увеличиваться, т. е. ее
граница будет перемещаться в сторону не занятых видом областей. Какова
нормальная скорость перемещения границы области, занятой видом?
Математически задача описывается уравнением (24.3), причем удовлетворяет
следующим условиям: /(0) = /(1) = 0. /(и) > 0 при 0 < и < 1; df/du -
/'(0) = = а > 0, /'(и) < а при 0 < и ^ 1 (кривая fi(u) на рис. 24.2а).
Необходимо найти связь между v, D и /'(0), при которой решения (24.3)
518
Глава 24
таковы, что 0 ^ tt(?) ^ 1, и(?) -> 1 при (-> 0 и и(?) -> 0 при ? -> -оо.
Из (24.3) находим
dW/du = (DWy^vW - /(и)]. (24.4)
Представляют интерес только те интегральные кривые уравнения (24.4),
которые на плоскости Wu проходят между прямыми и = 0 и и = 1, приближаясь
к точкам (и = О, W = 0, и и = 1, W = 0) [22]. Указанные точки - особые
