Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
термализации
20.2. Самомодуляция. Возвращаемостъ
421
Рис. 20.4. Периодическая эволюция нелинейных волн в LC-цепочках;
синусоидальная волна, запускаемая в линию, превращается в
последовательность мпульсов, по форме близких к солитонам (1-4), после
чего сильно нелинейная волна вновь переходит в синусоиду (5, 6)
не обнаружили - система периодически возвращалась в состояние с начальным
распределением энергии (парадокс Ферми-Паста-Улама).
При осмысливании этого парадокса возникают два вопроса: первый и главный
- почему нет перемешивания; второй - почему система не приходит к какому-
либо равновесному состоянию (например, последовательности солитонов), а
периодически колеблется? Прежде чем ответить на эти вопросы, напомним,
что рассматриваемые системы консервативны, т. е. в фазовом пространстве
соответствующих им конечномерных моделей (из N взаимодействующих
гармоник) не может быть ни асимптотических устойчивых состояний
равновесия, ни каких-либо других аттракторов (предельных траекторий или
множеств траекторий, возможных в системах, где есть сжатие фазового
объема). Однако в фазовом пространстве таких систем, как мы увидим в гл.
22 и 23, даже при небольшом числе N возможно существование хотя и не
притягивающих, но занимающих достаточно большую область в фазовом
пространстве множеств, устроенных очень сложно, движение внутри которых и
отвечает нашим интуитивным представлениям о перемешивании. Обсуждаемые
нами сейчас системы принадлежат к классу вполне интегрируемых систем,
в'которых существование подобных сложных (перемешивающих) областей в
фазовом пространстве невозмож-
422
Глава 20
но1. Близостью модели, с которой экспериментировали Ферми, Паста и Улам,
к вполне интегрируемой системе и объясняется тот феномен, что они не
наблюдали термализации.
Полная интегрируемость нелинейного уравнения Шредингера с периодическими
граничными условиями доказана и работе [21]. Нелинейная волна модуляции в
этом случае имеет дискретный спектр, причем из-за дисперсии групповой
скорости спектр можно считать ограниченным (сателлиты с высокими номерами
нерезонансны и поэтому не нарастают). В такой ситуации естественно
перейти от пространственно-временного описания к спектральному,
рассмотрев взаимодействие нескольких (в простейшем случае трех (wo и w±)
спектральных составляющих. При этом предполагается выполнение в среде с
кубичной нелинейностью условий синхронизма 2ко = к~ + к+ и 2и>о = w+ + w_
+ Aw, где Aw - малая расстройка от точного синхронизма.
Уравнения для амплитуд Аа и А± получаются точно так же. как, например, и
уравнения для амплитуд основной волны и ее второй гармоники,
взаимодействующих в среде с квадратичной нелинейностью (см. гл. 17). Мы
здесь приведем соответствующую систему в частном случае, когда сателлиты
тождественны, т. е. А+ = А- = Ai, V+ = V- = VI [22]:
Ао = 2А2А{ sin Ф, Ai = ~AAlA\ sin Ф,
Ф = -s + А\ - Ад 4- (2Al - Ai) cos Ф,
где Ф = [Awt + 2((ро - ^х)] sign/9, s = sigп(/3 d2 w / dk2), а
дифференцирование осуществляется по безразмерному времени г = Awt
(модуляционной неустойчивости соответствует s = -1). Воспользовавшись
интегралами
А20 + 2А\ = Е, А\ (2Al cos Ф + 2А\ + А\- 2s) = F, (20.19)
можно свести исследование системы (20.18) к анализу движений на фазовой
плоскости.
Получившиеся фазовые портреты представлены на рис. 20.5. Для удобства в
качестве фазовых переменных взяты х = (2Ао)1^2 сов(Ф/2) и у = (2А0)1/2
5ш(Ф/2). Физический смысл имеют лишь траектории, лежащие внутри
окружности х2 + у2 = 2Е: уход изображающей точки внутрь этой окружности
соответствует уменьшению энергии основной
1Для конечномерных систем с N степенями свободы полная интегрируемость
означает существование (N - 1)-ю независимого интеграла движения.
20.2. Самомодуляция. Возвращаемостъ
423
aJa i ах/а,
Рис. 20.5. Фазовые портреты консервативной системы, описывающей
модуляционный распад основной гармоники на пару одинаковых сателлитов.
Координаты состояний равновесия: А - х - [(61? + As)/7]1^2, у - 0; В - х
= 0, у = (2Е- 4s)1/2; С - х = s1/2, у = {2Е - s)1/2
моды и генерации сателлитов. Видно, что это возможно лишь при выполнении
условия (20.14) и, кроме того, при достаточно большой энергии, запасенной
в основной моде. При Е > 2 возможна полная передача энергии сателлитам -
сепаратрисы идут с окружности и состояние равновесия х = у = 0 (рис.
20.5в), при 1/2 < Е < 2 - лишь частичная (рис. 20.56). При малой энергии
основной волны (или при s = +1) модуляционной неустойчивости нет (рис.
20.5а-в).
Явление возвращаемости описывают траектории на рис. 20.5в, близкие к
сепаратрисам: вначале энергия почти полностью передается сателлитам,
затем возвращается основной моде и так далее. Солитоиам в данной модели
соответствуют те состояния равновесия, координаты которых указаны в
подписи к рис. 20.5.
Рис. 20.6. Непериодический (а)- и периодический (б) обмен энергией между
оЬновной модой (1) и сателлитами (2, 3, 4)
424
Глава 20
