Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
19.2. Уединенные волны - солитоны
399
Рис. 19.6. Потенциальная Рис. 19.7. Различные классы решений уравне-
энергия W - -Vu2/2 4- ния Кортевега-де Вриза и их соответствие фа-+ и3/6
и фазовый портрет зового портрету стационарных волн: а - ква-стационарных
волн. Состо- зисинусоидальные колебания малой амплиту-яние равновесия и =
2V - ды - вблизи состояния центра; б - кноидаль-центр. Солитон соответ-
ные волны (периодические солитонные решет-ствует сепаратрисе ки) -
вблизи сепаратрисы; в - солитон (уеди-
ненная волна) - сепаратриса
пользуя при подстановке тождество сЬ2(?/Д) - sh2(?/A) = 1, получаем
4Umax 6 U та?
д2
сИ2(?/Д) сЬ4(?/Д)
= V-
сЬ2(е/Д) 2сЬ4(е/Д)
(19.16)
Отсюда можно найти Д и umax. Тождество (19.16) выполняется при любых ?,
следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях сЬ(^/Д) должны быть
равны, т. е.
4/3/Д2 = V, 6/3/Д2 = итях/2.
Итак, мы получили: 1) нтахД2 = 12/3 = const - чем выше солитон, тем он
уже; 2) Д2 = 4/3/V, итах = ЗУ - чем солитон шире, тем он медленнее бежит
и тем меньше его амплитуда. Таким образом, ширина, скорость и амплитуда
солитона. описываемого уравнением Кортевега-де Вриза, однозначно связаны,
т. е. семейство решений в виде солитонов однопараметрическое - меняем,
например, V. получаем разные солитоны.
Почему солитоны, т. е. частные виды стационарных волн, интересны?
Фактически по тон же причине, что и другие стационарные вол-
400
Глава 19
ны: нестационарные возмущения довольно широкого класса в процессе
распространения асимптотически приближаются к солитону! Экспериментально
этот факт был обнаружен давно; еще более ста лет назад Скотт-Рассел1
наблюдал солитон и поэтично описал его [10].
Новая жизнь солитона - одного из самых привлекательных объектов
современной физики - в значительной степени связала с построением точных
решении многих уравнений нелинейной теории волн. При их построении
большую роль сыграл так называемый метод обратной задачи рассеяния [11].
Этот метод берет начало от работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [21],
которые в 1967 г. установили связь между уравнениями Кортевега-де Вриза и
Шредингера. Поясним кратко суть этой связи. Как известно [14], уравнение
Шредингера д2Ф/дж2 + + [U(x) +а]Ф = 0 в случае, когда потенциал U{x)
положительно определен и спадает до пуля при х ->¦ ±оо, имеет финитные
решения, стремящиеся вместе со своими производными к нулю на
бесконечности, а спектр собственных значений е дискретен. Рассмотрим
уравнение Шредингера
д2Ч>/дх2 + [u(t, x)/(Q(3) + е]Ф = 0, /3 > 0, (19.17)
где u(t, х) зависит от времени как от параметра. Тогда и собственные
значения, вообще говоря, будут зависеть от t. Покажем, что собственные
значения е не будут зависеть от t, если функция и(х, t) удовлетворяет
уравнению Кортевега-де Вриза (точнее, если и(х, t) - любое положительно
определенное решение уравнения Кортевега-де Вриза, спадающее на ±оо, то
соответствующий ему спектр собственных значений остается неизменным). Из
уравнения (19.17) находим
u(t, х) = -6/3(ф-152Ф/а.х-2 +е).
Подставим это выражение в уравнение (19.14). После вычислений по-лучим
4>2de/dt = (Ф'"4- ФИ')', (19.18)
где A(t, х) = 6(3[Р~1д'&/dt - ЗФ'Ф"/Ф + Ф'" - еФ'/6]; штрихи означают
соответствующие производные по х.
Проинтегрируем левую и правую части (19.18) по х от -оо до +оо. При этом
правая часть получившегося уравнения обратится в нуль, по-
*0 жизни и работах Джона Скотта-Рассела - "великого инженера и
кораблестроителя викторианской эпохи" - можно прочитать в книгах [12,
30].
19.2. Уединенные волны - солитоны
401
скольку собственные функции (вместе со своими производными) дискретного
спектра уравнения Шредингера исчезают на бесконечности. Таким образом,
ОО
(de/dt) J Ф2 dx = 0.
- ОО ОО
Поскольку в силу нормировки / Ф2 dx ф 0. то de/dt = 0, т. е. е = const.
- ОО
Так как решение u(t, х) произвольно, спектр е нам неизвестен. Покажем
теперь, что если u(t, х) - солитон, то уравнение Шредингера имеет
единственное собственное значение. Когда u(t, х) = - umaxch-2[(a; -
Vt)/Д] - солитон, уравнение (19.17) принимает вид
Ф" + (С/о ch-2 + а)Ф = 0.
Здесь Uo = итах/(6/3), a = 1/Д = (umax/12Ц)х!2. Дискретные собственные
значения уравнения Шредингера даются формулой (см. [14], § 23, задача 4)
?п = -a2(s - п)2, п = 0, 1, 2, ... ,
где s = (1/2) (-1 + \Jl + 4XJo /а2), причем должно быть п < s. Подставляя
в выражение для s выписанные выше значения Uo и а, получим s = 1, т. е.
существует единственное собственное значение е0 = итах/(12(3). Итак, мы
получили, что: а) спектр собственных значений не зависит от t. хотя u(t,
х) изменяется со временем: б) каждому собственному значению соответствует
солитон. Отсюда следует вывод: любое локализованное положительное
возмущение представляет собой набор солитонов и, если достаточно долго
подождать, эти солитоны сформируются и возмущение превратится в
последовательность солитонов, выстроившихся по амплитуде (рис. 19.8в).
Поскольку "соли-тонный состав" - набор солитонов, из которых состоит
