Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
1 73,2 74,0 0,8 0,64
2 68,2 68,8 0,6 0,36
3 70,9 71,2 0,3 0,09
4 74,3 74,2 -0,1 0,01
5 70,7 71,8 1,1 1,21
6 66,6 66,4 -0,2 0,04
7 69,5 69,8 0,3 0,09
8 70,8 71,3 0,5 0,25
9 68,8 69,3 0,5 0,25
10 73,3 73,6 0,3 0,09
Среднее результатов 20 измерений равно 70,89; дисперсия — 5,89 Сумма 4,1 Сумма 3,03
Решение. Рассмотрим два подхода к получению выборочной дисперсии результатов измерений, полученных попарно на установках № 1 и 2.
1. Обычное вычисление выборочной дисперсии для общего среднего и общей дисперсии при N= Az1 + п2 = 20 измерениях в соответствии с формулами (3.3) и (3.4)
X = -L ?>. = -1(73,2 + 74,O + ...+ 73,3 + 73,6) = 70,89, (1) N JT{ 20
- ?(*, - 4 = ^1(*, - 70,89)2 - 5,89. (2)
2. Попарное (построчное) вычисление дисперсии и получение средневзвешенной дисперсии в соответствии с формулой (4.5).
Для каждой пары (строчки в таблице) измерений среднее 3^. = 0,5 (хп +xi2), а сумма квадратов отклонений при /-м измерении пар равна
137
2 2 2
(xn + (? -*t) = Щхп - xa) = 0.5AJC,2, (3)
где Дх — разность результатов измерений, приведенных в строчке таблицы. Дисперсия пары измерений равна
~2_ 1 (?-?). Ах/
=2^Г 2 = Т" (4)
Тогда для /W наборов измерений (в нашем примере т = = 10) средневзвешанная дисперсия (дисперсии воспроизводимости [33]) будет равна (см. формулу (4.5))
т
где К — полное число степеней свободы, равное
т 10
I*, =1(2-1) = Ю.
Ы /=1
Видно, что среднее рассеяние (5) намного меньше, чем дисперсия, подсчитанная по всей совокупности измерений. Это объясняется тем, что попарные результаты коррелированны, когда они получены одновременно или сразу один за другим. Грубо оценку наличия корреляционной связи можно обнаружить, подсчитав сумму разностей Ax (см. таблицу). Эта сумма в данном примере равна 4,1, т.е. плотность продукта, получаемого на установке В, почти всегда выше, чем на установке А.
Таким образом, среднее рассеяние внутри групп измерений (здесь 10 групп измерений) уменьшена за счет положительной корреляционной связи между характеристиками продукта, получаемого на двух установках. По какой-то причине на установке В показатель качества продукта (плотность) почти всегда выше, чем на установке А. Средневзвешенная дисперсия (5) отражает случайный элемент погрешности измерений.
Дисперсия (2) отражает как разброс всей совокупности продукта по его параметру, так и разброс, связанный со случайной погрешностью измерения.
Полученный результат можно объяснить также математически.
Для одной пары (двух групп измерений)
Ax1- Z^ = (Xn -X1)-[хп -х2),
138
где средняя разность
— 1 т Ax = —Z &хг ты\
Тогда средневзвешенная дисперсия рассеяния внутри групп будет равна
IK--^)2 S(Xn-X,)^ S(X0-X2)2
т - 1 т - 1
21(? "3C1)K,-х2) е2 с2 ос (6)
т-\
~Sx\ + Sx2 ~^Sx\x2>
где суммирование производится по т группам.
Видно, что средняя дисперсия рассеяния внутри групп измерений зависит от корреляции (третий член в выражении (6) между парами измерений).
5.1.5. Обработка результатов неравноточных рядов измерений
В результате измерений одной и той же ФВ разными операторами с применением разных СИ получаются ряды измерений, которые могут быть отнесены к неравнорассеянным (неравноточным), поскольку их дисперсии значимо отличаются друг от друга.
Основой для получения оценок результирующего среднего и дисперсии служат следующие исходные данные:
1) предполагается, что результаты измерений имеют нормальное распределение вероятности;
2) X1, х2, хт — средние арифметические т рядов равнорас-сеянных измерений;
3) Q1, G2, Gm — CKO (или их оценки) результатов измерений в отдельных рядах;
4) п{, п2, пт — число измерений в каждом ряду.
Используя метод максимального правдоподобия, можно представить оценку среднего т групп измерений в виде
: Xn =
т і
^ 1 — т
Om1
= ?Л,х,. (515)
139
Полученная оценка называется средним взвешенным и представлена в трех равноценных формулах. Обратные дисперсии, входящие в выражение (5.15), выступают при этом как веса отдельных средних арифметических
а.. = 1
Aj=CXj
(5.16)
Веса характеризуют степень доверия к соответствующему среднему арифметическому, и чем меньше дисперсия, т.е. рассеи-ваемость результатов измерений в группе, тем больше доверия к результатам измерений данной группы. Дисперсия среднего взвешенного определяется формулой
*0
Iy
(5.17)
Из (5.17) видно, что дисперсия среднего взвешенного меньше дисперсии любого из средних арифметических отдельных рядов измерений, поэтому совместная обработка нескольких рядов измерений позволяет повысить точность измерений ФВ.
При заранее неизвестных дисперсиях и ограниченном числе
измерений используют оценки дисперсий Sl. Доверительная гра-
ница при Hj > 20 может быть определена с помощью функции нормированного нормального распределения:
^{|^о-о|<^0} = 2ФЫ-1-
v0 ^|ЧГ
При малом числе нормально распределенных результатов измерений для определения доверительных границ используют распределение Стьюдента с числом степеней свободы, определяемым формулой
