Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 3.3. Распределение показаний амперметра в примере 3.5
Искомая вероятность может быть определена также с помощью вычисления площадей обоих «хвостов» дифференциального распределения: P= [X -Ф(3)] +Ф(-3) = 1 -0,99865 + 0,00135 = 0,0027 или, используя симметрию кривой, последнее выражение можно преобразовать к виду Р=1-Ф(3) + 1-Ф(3) = 2[1-Ф(3)] = 2[1-0,99865] = = 0,0027. Заметим, что вероятность того, что погрешность показаний амперметра не превысит 12 мА, составит 1 - 0,0027 = 0,9973.
Таким образом вероятность того, что погрешность показаний амперметра не превысит по абсолютному значению 12 мА, составит 0,0027.
Пример 3.6. Погрешность измерения напряжения вольтметром распределена по нормальному закону. Систематическая погрешность равна нулю, a CKO результатов измерения составляет G1J= 60 мВ. Определить вероятности того, что результат измерения
68
отличается от истинного значения напряжения более чем на A1 = 144 мВ и A2 = 120 мВ. Решение. Определим
A1 144 мВ 120 мВ
г'=^ = -^ = 2'4и^=-бо^в- = 2'°-
Тогда
Px = 2Ф(-2,4) = 2 • 0,0082 = 0,0164 и P2 = 2Ф(-2,0) = 2 • 0,0228 = 0,0456.
Таким образом, вероятности того, что результаты измерения напряжения будут отличаться от истинного значения более чем на 144 и 120 мВ, будут составлять P1 = 0,0164 и P2 = 0,0456 соответственно.
Пример 3.7. Случайная погрешность измерения дальности до неподвижного объекта подчинена нормальному закону с математическим ожиданием /W5 = 5 м и CKO а = 10 м. Определить вероятность того, что отклонения от истинного значения дальности не превышает 115 м |.
Решение. Систематическая погрешность измерения равна 5 м. Таким образом, распределение погрешности измерения нормальное, сдвинуто по оси 8 на 5 м вправо (рис. 3.4). Определение вероятности того, что измеренное значение дальности отклонится от истинного значения не более чем на 15 м сводится к вычислению вероятности попадания случайной величины (погрешности измерения) на интервал от -15 до 15 м.
Рис. 3.4. Распределение погрешности попадания в цель в примере 3.7
Используя формулы (2.13), (3.7) и значения Ф(г) из табл. ПЗ, получаем
Р(|6|<15) = ф[-^]-ф[^]=Ф(1)-Ф(2)=Ф(1)-[1-Ф(2)] * 0,82.
69
Таким образом, вероятность того, что погрешность отклонения от истинного значения не превысит по модулю 15 м, составляет 0,82.
Пример 3.8. По результатам пяти измерений была определена длина стержня L = 15,785 мм и оценка CKO Sj- =0,005 мм. Предполагается, что распределение результатов измерения соответствует нормальному закону. Определить вероятность того, что истинное значение длины стержня Q отличается от среднего арифметического из п = 5 измерений не более чем на 0,01 мм.
Решение. Поскольку распределение результатов измерения соответствует нормальному закону распределения, то используем для оценки искомой вероятности при ограниченном числе измерений распределение Стьюдента. Найдем параметр
JZ-Q = 0,010 = 2 р S1 0,005
и число степеней свободы Л = л-1 = 5-1=4. По данным табл. П6 при tp=2 и к = 4 получим P= 0,8838.
Таким образом, вероятность того, что истинное значение длины стержня отличается от среднего арифметического из пяти измерений не больше чем на 0,01 мм, составляет 0,8838. Этот результат можно записать следующим образом:
Р[ I Z - QI < 0,01} = 0,8838 (88,4%) или Q = (15,785 ± 0,010) мм
при P = 88,4%.
Пример 3.9. Для условий предыдущего примера (L = 15,785 мм, л = 5, 5^=0,005 мм) найти доверительные границы того, что результаты измерений находятся в них с доверительной вероятностью P =0,99.
Решение. Для определения доверительных границ воспользуемся табл. П5. При к = 4, P= 0,99 найдем ^=4,604. Следовательно, tpSz = 4,604 • 0,005 = 0,023 мм.
Таким образом, истинная длина Q= (15,785±0,023) мм при P= 0,99 (99%).
Пример 3.10. В условиях нормального распределения найдено, что среднее арифметическое результатов измерений и их CKO соответственно равны Jc =24,022; ?,. = 0,012. Число измерений п = 9. Определить вероятность того, что истинное значение Q лежит в интервале от 24,014 до 24,030.
70
Решение. Найдем CKO среднего значения по формуле J,-i-M? = 0,004
и число степеней свободы & = л- 1 =9- 1 = 8. Поскольку интервалы симметричны относительно среднего значения, то величину tp определим из соотношения
_ 24,030-24,014 _0 р~ 2-0,004 *
По табл. П6 при tp= 2, к = 8 найдем вероятность P= 0,9194. Таким образом, вероятность того, что истинное значение лежит в интервале от 24,014 до 24,030, равна 0,9194.
Пример 3.11. В условиях нормального распределения найдено, что среднее арифметическое результатов измерений и их CKO соответственно равны Jc =24,022 и .Sx = 0,012. Число измерений п = 9. Определить вероятность того, что истинное значение Q меньше 24,014.
Решение. Используя результаты решения предыдущей задачи, получаем, что вероятность P1 попадания истинного значения измеряемой величины в симметричный доверительный интервал от 24,014 до 24,030 будет равна 0,9194. Тогда искомая вероятность (рис. 3.5)
Рис. 3.5. Распределение результатов измерений в примере 3.11
Пример 3.12. В условиях предыдущего примера определить вероятность того, что истинное значение Q лежит в интервале от Jc1 = 24,014 до X2 = 24,038.
