Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
— (а1(а2,...) с конечной нормой
CO
и/н*= 2>”'а<те
П=1
и соответствующим скалярным произведением, наз. ком* пактным, если он переводит любую ограниченную последовательность векторов (т- е. такую, что для
всех п выполнено неравенство ||xn|| < М) в последовательность {А хпиз к-рой всегда можно выбрать сходнщуювя подпоследовательность. Отсюда, в частности, следует, что если выбрать последовательность {х„} ортонормированной: (хп,хт) ^ 1 прн и = т н О при п т [примером такой последовательности служит ягп = (0,...,0,1,0,_)], то последовательность {Лхп} бу-
дет сходиться к нулю. Для таких операторов, действующих в пространстве I2 или в функциональных пространствах, справедлива теорема P н с с а — Ш а у д е р а, утверждающая, что система собств. ф-ций (собств. векторов) такого оператора образует базяс (полную систему из ортонормированииX ф-ций) в соответствующем пространстве, а его G. з. Xn сходятся к нулю при п —* оо, причём каждое С. з. является корнем конечной кратности. К классу компактных операторов относятся все ограниченные интегральные операторы с интегрируемым ядром, к-рые часто встречаются в физике, напр, в задачах с потенциалом.
Класс компактных операторов оказывается слишком узким, чтобы описать все физически интересные случаи. Он не описывает унитарные операторы (т. е. операторы, сохраняющие норму; все С. з. таких операторов представляются в виде е*ф, ф ? IR), а также дифференциальные операторы, к-рые, как правило, не ограничены. Обобщением понятия С. з. дли таких операторов служит понятие спектра ст(/4) оператора А. Число X принадлежит спектру ,оператора, если резольвента оператора А, Я(Х) = (W — Л)-1, будет сингулярным оператором. Все С. з. А будут принадлежать о(А) [онн будут изолированными (дискретными) точками о(/4)]. Однако помимо этих точек а(А) обычно содержит непрерывную часть, состоящую из такнх точек X, для к-рых оператор R(X) определён, ио не ограничен. В обычном смысле таким X не соответствует никакая собств. ф-цня, тем ие менее аналог разложения по базису собств. ф-ций задаётся спектральным разложением.
Лит. см. при ст. Собственные функции. Л. О. Чехов.
СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ — то же, что нормальные волны.
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ — колебания, происходящие в колебательной системе в отсутствие внеш. воздействия; то же, что свободные колебания. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ оператора, действующего в функциональном пространстве,— ненулевые ф-ции fx, переводящиеся оператором А в пропорциональные им:
568 Afx=Ux-
Комплексное либо вещественное число X наз. собственным значением оператора А. В гильбертовом пространстве L8(Q1Cfn) ф-ций на множестве Q1 интегрируемых с квадратом по мере du, в к-ром задано скалярное произведенне ф-цИЙ
</,t> =
Q
(звёздочка означает комплексное сопряжение) и вводится понятие сопряжённого оператора, особенно важную роль нграют самосопряжённые линейные операторы (эрмитовы операторы, в дальнейшем линейность операторов подразумевается). Это такие операторы, для к-рых (х,Лу) = (Ах,у) для всех х и у иа La(Q,dfi) (и этн скалярные произведения имеют смысл); множества всех допустимых ф-ций хву должны совпадать; все собств. значения таких операторов вещественны. В квантовой механике с каждой наблюдаемой ассоциируется самосопряжённый оператор, С. ф. к-рого задают состояние системы с определённым значением оператора наблюдаемой. Напр., для гармонич. осциллятора оператор энергии (гамильтониан)
я=—НігГНг*1-
С. ф. к-рого являются функции Эрмита, ортогональные на ] те, -|— оо[. . При этом fc-й С. ф. 1Pfgix) ~ = (Уїт2**!)“‘/*(х — d/dx)*exp(—**/2) (k — 0,1,2,...) соответствует собств. значение Xjc ~ к -f- 1/2.
С. ф. Z1 и /а самосопряжённого оператора А, отвечающие разл. собств. значейиям и X2, ортогональны, (/іі/з) ~ 0- Множество Lx всех С. ф., отвечающих одному собств. значению X, образует линейное подпространство, совпадающее с ядром оператора А — XI (/ — единичный оператор), т. е. с множеством ф-ц*й, переводимых этим оператором в О (ядром оператора В наэ. множество ф-ций /, для к-рых Bf = О).
В приложениях (вариац. исчисление, классич. граничные задачи матем. физики) важную роль играют самосопряжённые интегральные операторы К:
(Kf)(x) =^K(x,v)f(y)d\i(y) у
ф*цня К(х,у) = К*(у,х) наз. ядром интегрального оператора (не путать с понятнем ядра оператора, определённым выше). Если оператор К ограничен, а его ядро— интегрируемая ф-ция, то К компактен и его С. ф. образуют базис в пространстве L2(Q,<fyi). Ядро К(х,у) такого оператора можно разложить в (конечную либо бесио-нечную) сумму:
N
К{*іУ)= 2 (*)
Tl=I
где (Pnx(X) — набор (всегда конечный прн данном л) ортонориированных С. ф., отвечающих одному и тому же собств. значению?^, при этом I^nI -* 0 при п —»• оо. Примером такого интегрального оператора может служить решение Дирихле задачи. Одним из критериев ограниченности является - условие К(х,у) ? L2(?Э <8 Й, dji <8 dji), т. е. ф-ция К(х,у) интегрируема с квадратом по своим аргументам.
Класс самосопряжённых операторов, действующих иа всём гильбертовом пространстве ф-ций L2(Q,tip,), слишком узок, чтобы охватить нее физически интересные величины. He все даже ограниченные операторы нмеют разложение (•). Напр., унитарный оператор сдвига ф(х) —»• ф(х *4- а) ие имеет С. ф. в пространстве L2(]—оо, 4~оо[), то же справедливо и для неограниченных операторов, н к-рым относятся практически все дифферен-
