Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Лит.: Гельфанд С., Слух. Введение в пси хологнчесиую и физиологическую акустику, пер. с англ., М., 1084; Бибиков Н. Г., Описаний признаков звука нейронами слуховой системы наземных позвоночных, M4 1987. , Я. Г. Бибиков.
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА — одно нз осн. понятий теорнн вероятностей;' величина, значения к-рой зависят от случая, причём определены вероятности всех еб значений. Примерами являются число вьшаденнй реш-нн прн 10-кратном случайном бросаннн монеты или расстояние, на к-рое случайно движущаяся броуновская частица отошла от своего начального положения за время t.
В вероятностей теории Для описания случайного явления принята след, схема: вводится подходящее «вероятностное» пространство (пространство элементарных событий) Q — множество всех «мыслимых» случаев — реализаций этогр явлення, и каждому подмножеству AczQ этцх случаев (событию) приписывается неотрицательное чнсло P(A) — вероятность события А. Так, в случае 10 независимых бросаний монеты вероятностное пространство состоит нз 210 последовательностей со = (аі,...,а10),'где каждое о*— герб илн решка (исход І-го бросания монеты), t = I1...,
10; вероятность иаждого события А = (Cj1, состоящего из N раал. последовательностей wfc, P(A) =
— N*2~10. Вероятностное пространство, Списывающее броуновское движение частицы, СОСТОИТ HS всех МЫСЛИМЫХ траекторий этого движения; правило, но к-рому вводятся вероятности событий P(A)1 из этого пространства, довольно сложно (см., напр., [3]).
Теперь можно более строго определить С. я. ?=?(<а), а> € Q} как числовую ф-Дию на вероятностном пространстве Q. В наиб, простом Случае, когда ? ври-нимает лишь дискреткое множество (конечное или счётное) значений Ti, ..., Zni набор вероятностей
Pfc=P {©:?(©)=*fch Ar=-C, 2, . ..,п, *59
СЛУЧАЙНАЯ
случайнХя
яаз. распределением вероятностей значений С. в. | (илн, пороге, распределением |). В случав, когда | принимает значения нз произвольного «непрерывного» числового множества (так, что вероятность каждого отд. значения ?(«), как правило, ра*на нулю), распределение ^ задаётся с помощью т.н.функции распределения
Fi (х)=/>{й);4(ш)<х}, — оо<д:<«>.
Прн этой в случае дискретного множества значений ^6(*)= 2 Pk-
Если рассматривается одновременно неск. С. в, Si,..., (напр., число всех решек в последовательности со — {аі,...,а10} я число двух последовательных выпадений решкн, три координаты x(t), y(t), z(t) броуновской частнцы в момент времени 0, то вводят их совместную ф-цшо распределения
F&......6.(?. ¦ • • ,*.)=P{<a:?i(wK*i» •.. ¦
С. в. ¦•¦>?* иаз. независимым и, когда эта фгция распадается на произведение вероятностен отд. С. в.
Ср. Значение (матем. ожидание) (?) С. в., принимающей значения нз дискретного множества чисел х\,...,хп, определяется ф-лой
O=^fcPfc. к
В общем случае, когда С. в. принимает «непрерывное» множество значений, полагают
OO
<&>= j (*ь
—CO'
где J ¦ (JZlCr) — т- в. интеграл Стилтьеса (см. [1]). Дисперсия С. в. определяется как
Р&=<(?-<?»2>.
Осн. рабочий (неформальный) принцип теории вероятностей состоит в том, что Bfce сведения о «статнс-тич. свойствах» С. в. можио целиком извлечь из её ф-цнн распределения (а в случае иеск. С. в.— нз их совместной ф-цин распределения), не обращаясь к деталям явной зависимости ?(а>) от случая ш ? Q.
Лит.: 1) Г'недеяко 'Б. В., Курс теории вероятностей, 6 изд., М., 1988; 2) Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1, пер, с англ., [3 изд.]. М., 1984;
3) Г и і к а к И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., M 1977. Р. А. Минлос.
случайная функция иа множестве T —
семейство случайных величин {^, і ? Г}, помеченных элементами множества T (наз. областью определения С. ф.) и заданных на одном и том же вероятностном пространстве Q: = {& (со), со ?Q}. Напр., при п-
кратном бросании монеты, когда пространство Q состоит нз 2П последовательностей со = {с?ь...,ап), где aJc ~ ® или * [выпадение решки (O) или герба (1) при Ar-M бросании]г можно ввести С. ф. {^?, к = 1, ..., п} с областью определения Г = {1,2,..., п}, где Ifc = оц — А:-я координата в последовательности (о; при броунов-сиом движении частицы в течение промежутка времени Tt = [0, #0], когда пространство Q образовано всеми возможными её траекториями
ю=И0=И0.»(*).*(0)Єлз.
6 качестве С. ф. можно выбрать семейство {?*, t ? T} значений абсцисс x(t) точек r(t) во все моменты времени Г- Ij(W) = лг(0-В случаях, когда область определения T совпадает 560 с числовой осью (илн отрезком числовой оси), множест-
вом целых чисел, многомерным пространством Rv (v > 1) нли областью в нём, С. ф. называют соответственно случайные процессом, случайной последовательностью (или временным ря-д о м), случайным полем. Числовую ф~цию {?(*), *€ на множестве T, получающуюся при фиксировании к.-л. случая 6) — coq P Я : ?(f) = It(Wo), называют еалнзацией С. ф. (или её выборочной ункцией).
Для любого конечного набора элементов tt,.,.,tn ? T определена совместная ф-цня распределения вероятностей значений набора случайных величин :
