Квантовая электроника - Пирс Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения Максвелла и когерентный свет
Как было установлено, существуют решения максвел-ловских уравнений (другими словами, возможны электромагнитные волны) при условиях, которые имеют место между парой вогнутых зеркал К Изучив зависимость напряженности электрического поля между зеркалами от
Ось
Второе направление, у
Первое
направление, х
Расстояние еёо/гь оси равно z
Фиг. 17.
расстояния до оси системы (линии, проходящей через центры кривизны зеркал), мы обнаружим, что в резонаторе, образованном двумя вогнутыми зеркалами, возможно несколько различных видов колебаний. Чтобы охарактеризовать их, мы должны задаться выбором опорных направлений, или координат. Удобно использовать систе-
1 Это верно только тогда, когда расстояние между зеркалами меньше суммы их радиусов кривизны
84 му координат, изображенную на фиг. 17. Будем считать, что, глядя на фиг. 17, мы смотрим вдоль оси трубки лазера. Расстояние вправо от этой оси (направление х) мы будем называть координатой Xt а расстояние вверх (направление у) — координатой у. Расстояние вдоль оси трубки (мы условились считать ее перпендикулярной плоскости страницы), то есть в направлении оси z, будем обозначать через г.
Итак, рассмотрим, как меняется напряженность поля от точки к точке в направлении х по мере удаления от
Напряженность лоля
Первое изменение лоля в зависимости ш х или у, первая функция от у или jc
Ось
Напряженность поля
в/лорое изменение поля в зависимости о/л х или у. вторая срумщия от у или х
Фиг. 18.
оси трубки (оси г) и в направлении у (тоже по мере удаления от оси z). Оказывается, и в том и в другом направлении поле может меняться отнюдь не единственным образом, то есть существует не одна, а целый набор функций, описывающих изменения поля в зависимости от величины X и от величины у. Две простейшие конфигурации поля (функции- описывающие его форму) изображены на фиг. 18. Формы других распределений поля еще сложнее.
Изменение напряженности поля вдоль перпендикуляра к оси трубки можно представить в виде произведения любой функции X (из их полного набора) на любую (из полного набора) функцию у (с другим порядковым номером или с тем же самым). Итак, энергия волны, излучаемой лазером, может находиться в любой из ряда кон-
85 фигураций, в том числе довольно сложных. Некоторые из них показаны на фиг. 19.
А как изменяется электромагнитное поле вдоль луча, между зеркалами? На среднем участке между ними волна распространяется параллельно оси. Но ближе к левому или правому концу трубки луч начинает расходиться,
? St
? 4
* ъ
*
Фиг. 19.
как показано на фиг. 20. На достаточном удалении от средней точки характер расхождения волны таков, как будто бы она исходит из средней точки на оси. Пользуясь языком математики, можно сказать, что волна распространяется вдоль семейства гипербол, асимптотами которых являются линии, проходящие через среднюю точку на оси. На фиг. 20 как раз и показаны две из этих гипербол.
О распределении интенсивности волны в нормальном (то есть перпендикулярном) к оси сечении мы уже говорили (см. фиг. 18 и фиг. 19). По мере удаления от средней точки вдоль оси z поперечное сечение пучка лучей лазера увеличивается в размерах, но формы не меняет. Размеры поперечного сечения меняются пропорционально расстоянию между парой гипербол, изображенных на фиг. 20.
86 Ясно, что если двигаться вдоль оси трубки, то, чем дальше мы будем удаляться от средней точки между зеркалами, тем ближе будут подходить гиперболы к своим асимптотам — прямым, проходящим через среднюю точку, как показано на фиг. 20. Следовательно, на достаточных удалениях от средней точки оси z увеличение размеров поперечного сечения будет пропорциональным расстоянию от средней точки. При этом довольно существенная доля энергии луча света будет заключена внутри
Середина промежутка между зеркалалта
Фиг. 20.
конуса с углом 6' при вершине. Угол же этот пропорционален X/D, где X — длина волны света, a D характеризует ширину луча света в средней точке, где свет двигался еще параллельно оси.
Все сказанное выше в общем соответствует обычным представлениям геометрической оптики, согласно которым свет всегда распространяется вдоль прямых линий. Вдали от средней точки между зеркалами, где размеры поперечного сечения пучка лучей лазера достаточно увеличились; излучение действительно распространяется вдоль прямых линий. Однако вблизи средней точки, где размеры сечения очень малы, пути света оказываются искривленными, а это явление можно объяснить лишь с точки зрения волновой природы света.
Все сказанное согласуется также и с нашими предыдущими выводами, касающимися отражения параллельного пучка плоским зеркалом диаметром D. Как мы помним (см. стр. 79—81), значительная часть отраженного света па больших удалениях от зеркала и сосредоточивалась в конусе с углом б при вершине, равным О =- X/D рад.
87 Узкий луч
Уравнения Максвелла — законы электромагнетизма— прекрасно описывают сложное поведение излучения, заключенного между двумя зеркалами лазера, и точно предсказывают конфигурации распределений интенсивности такого излучения. Помимо того, они объясняют многие поразительные особенности поведения когерентного света, генерируемого лазерами.
