Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
(c) = (c)j + 0к (векторная сумма). (4.6.16)
Тогда орбита (c) является орбитой типа Тоды для группы В.
Подмножества П[ и П2 в теореме 4.6.4 могут иметь нетривиальное
пересечение, однако в этом случае на них надо наложить дополнительные
условия для того, чтобы размерность орбиты (c) была равна 21.
Рассмотрим простейший случай [182]. Пусть, как и прежде, П = njUn2, но
теперь пересечение П1 й П2 не пусто, а состоит из одного корня:
П1 П П2 = {• 5 }.
Выберем ^ G /?+(Пу) так, что Supp(/3y-) = П/ и dim5(ny) -х^, = 2Nj, / =
= 1,2, где Nj - число корней в системе Пу. При таком выборе орбита группы
В/ - В (Пу) в пространстве 9SJ, проходящая через точку ?у, является
орбитой типа Тоды. Рассмотрим теперь орбиту группы В в 1S', проходящую
через точку % = ?1 + ?2- Обозначим через Гу = { 7 G /?+(Пу): Pj - 7 G е
R+ (П/)} . Тогда Г! П Г2 = {5} или П Г2 =0. Пусть выполнено условие Г i
ПГ2 = { 5}. Тогда 0 = В ¦ % - орбита типа Тоды в ЗР*.
4. Рассеяние на /-регулярных орбитах. Пусть О есть /-регулярная орбита
группы В в (c)* и Я G / - гамильтониан, определяемый формой
206
Киллинга на 3. Тогда в силу теоремы 4.6.2 решение уравнений движения с
начальными условиями х(0) -х0, дс0 EZB* - 3 имеет вид *)
х(Г) = Я(ехр(-?х0))х0 и справедлива
Теорема 4.6.5 [182]. Для траектории x(t) существуют пределы
х±= lim x(t) и х+ = wx ,,
*->±00
где преобразование рассеяния w - это элемент группы Вейля W группы G
относительно подгруппы А. При этом для почти всех начальных условий Xq ?
0 преобразование рассеяния - это элемент наибольшей длины в W.
4.7. Канонические координаты для систем типа Тоды
Орбиты коприсоединенного представления борелевских подгрупп,
рассмотренные в предыдущем разделе, были описаны не вполне явно. Для их
явного описания надо еще уметь описывать точку орбиты с помощью
канонических координат qj и рк. В простейшем случае si(4, IR), когда
борелевская подгруппа является группой вещественных верхних треугольных
матриц четвертого порядка, такие координаты были введены в работе [293],
где для их построения был использован алгоритм работы [301]. Однако даже
в этом случае такая конструкция канонических координат оказалась очень
громоздкой.
В данном разделе, следуя работе [216], укажем простую конструкцию
канонических координат на орбитах типа Тоды. Заметим, что в работе [216]
была указана простая конструкция канонических координат для более
широкого класса орбит, а именно для орбит, обладающих поляризацией.
Отметим, что любая орбита коприсоединенного представления бо-релевской
подгруппы вещественной расщепимой простой группы Ли этим свойством
обладает.
Определим сначала важное понятие поляризации. Пусть $* - пространство,
дуальное к алгебре Ли {х, ?> - значение функционала х ? на элементе % ?
S§ . Тогда поляризация 3 относительно х ? $ * - это подалгебра в $,
которая одновременно является максимально изотропным подпространством
формы <х, [?, т?]>, т.е. <х, [3, 93] > = 0.
Пусть G - связная группа Ли, соответствующая алгебре Ли Если З3 -
поляризация относительно х, то Ad^ З3 - поляризация относительно Ad^x,
т.е. при этом все точки орбиты обладают поляризацией.
Замечания.
1. Не каждый элемент х G обладает поляризацией. Например, если iS -
компактная полупростая алгебра Ли, то поляризация существует только
относительно нулевого элемента.
2. Однако для борелевских алгебр (c) вещественных расщепимых алгебр Ли
поляризация существует для любого элемента х G 53*.
*) Можно показать, что для обычной цепочки Тоды это решение приводит к
тому же ответу, что и решение с помощью орисферической проекции,
приведенное в разделе 4.5.
207
Следует иметь в виду, что построение поляризации для орбиты
коприсоединенного представления, вообще говоря, является очень сложной
задачей. Очень простую конструкцию поляризации можно указать для
специальных орбит Z+-градуированных алгебр Ли [216].
Пусть 9 = Е 9к есть Z+'Градуированная алгебра Ли и S' = fc>0
= Е 9*_к - дуальное пространство с дуальной градуировкой к> о
[9,, 9,]С. 9i+h ad•SrSVc S;./ (4.7.1)
Рассмотрим специальные орбиты, проходящие через элементы вида х G 9*_ к.
Очевидно, что стационарные подалгебры 9Х таких элементов являются ^-
градуированными,
9Х = 2 9х>1, 9x>i=9xn9h (4.7.2)
i> О
и если к четно, то подпространство 9к/2 ортогонально его дополнению Е 9/
относительно формы (х, [¦,]>.
гфк/2
Теорема 4.7.1 [216]. Пусть 9= Е 9, - градуированная алгеб-
<>о
ра Ли и х G 9*_ .к> к > 0. Предположим, что при четном к существует 9х 0
- инвариантное максимальное подпространство ^'kj2, изотропное
относительно формы (х, [•, ¦]>, при к нечётном мы полагаем 9'к/2 = 0.
Тогда
?=9ХП Е 9,+ 9'к1г+ Е 9, (4.7.3)
i<k/2 />к/2
- это поляризация относительно х, и при к нечетном для любого х
Adexpf *='*+а<1|-дс. (4.7.4)
Замечания.
1. Если х G 91,то 9 + = Е 9{ с9х, и для того, чтобы поляризация
i> 0
в 9 относительно х существовала, необходимо и достаточно, чтобы
поляризация &0 в 9о относительно ограничения х на 90 существовала. В этом
