Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
достаточно рассмотреть геодезические, проходящие через фиксированную
точку. Остальные геодезические получаются гиперболическими сдвигами
точки. Рассмотрим геодезические, проходящие через точку е = = (0, 1, 0) .
В метрике (3.5.8) это сечения гиперболоида плоскостями,проходящими через
точку е и начало координат. Отсюда получаем уравнение геодезических
th<? = ксоыр. (3.6.7)
x(r) = b exp (2at) b+.
(3.6.4)
H- ^ p1 - g^ch-2*?,
(3.6.6)
где p=q, ^= - /4" М* - момент.
146
При к <• 1 это эллипсы, к = 1 - изотропные прямые, к > 1 - гиперболы.
Таким образом, имеются два класса геодезических - замкнутые (к < 1) и
уходящие в бесконечность (к > 1) . В первом случае движение финитно, а во
втором - инфинитно, что согласуется с характером движения, определяемого
гамильтонианом (3.6.6).
Перейдем теперь к общему случаю. Пространство Хп^ >Ла эрмитовых матриц
порядка л Хл и сигнатуры (п\, п^) ,П\ + л2 = л, является однородным
псевдоримановым пространством с метрикой (3.5.8). Группа G = = GL(л, И)
действует на X"t "а обычным способом:
x~>gxg+, xexni"2, gGG. (3.6.8)
Стационарная подгруппа матрицы
J = diag(l,..., 1, - 1,..., - 1), trJ = rti - л2, (3.6.9)
- это К = U(nlt л2), так что Х"х "а = G/К; заметим, что группа К
некомпактна и состоит из матриц, удовлетворяющих условию g~l = Jg+J. В
соответствующем ''псевдокартановском разложении" & = X + &
подпространство 9 состоит из матрица таких,что
Ja+=aJ, (3.6.10)
а действие К на Сдается формулой
a-tgag'1, aG&, gGK. (3.6.11)
Нетрудно доказать, что геодезические в Х"2 ^ имеют вид
x(t) = b exp(2at)Jb+, (3.6.12)
где Ъ G G, a G 5й. При этом различным типам геодезических соответствуют
различные классы сопряженных картановских подалгебр в SP относительно
действия К, т.е. различные типы нормальной формы, к которой можно
привести а путем действия А. Можно показать, что матрицу а всегда можно
привести к виду
а =
\о
где
Pi i<P 1
: •. рк • • • /Vk
zVl • 01 •. •'
zVfc • • • Рк
о
(3.6.13)
л!-л2<г<л, &<л2, г + 2к = п,
г к
2 а, + 2 .2 Pj = 0. (3.6.14)
/ = 1 / = 1
147
Соответственно матрицу exp (2дГ) можно привести к виду
О )
е2агг
. . . е2Э'' cos 2^it.................. i'e2?i' sin 2^
• e2<3*'cos2fkt ; /е2Э*' sin 2*>fcr
ie2<3' 'sin 2i/J] t............... e2^1* cos 2ifit
\o
...................... С * cue I
ie213 * 'sin 2*kr ' e2 ' cos 2fkif
(3.6.15)
Из (3.6.14), (3.6.15) следует, что все геодезические распадаются на л2 +
1 класса. Каждый класс характеризуется к ''компактными" параметрами^- иг
+ i''некомпактными" (с^-,${).
Заметим теперь, что геодезическая (3.6.15) содержится в ограниченной
части пространства XKi > П}, если и только если = ... = ar = ft = ... =
ft = = 0. Такая геодезическая зависит только от к <л2' параметров, тогда
как геодезическая общего положения зависит от п - 1 параметров. При п > 2
она находится не в общем положении, и это означает, что она является
неустойчивой - некоторое число частиц будет уходить на бесконечность при
малсрм изменении начальных данных.
3.7. Миогочастичные системы
как редуцированные системы
В настоящем разделе будет показано, следуя работе [217], что результаты
разделов 3.3 и 3.5 можно получить методом редукции гамильтоновых систем с
симметриями (см. раздел 1.7). Характерной чертой такого подхода является
то, что здесь не используется представление Лакса для уравнений движения;
напротив, это представление получается из геометрических соображений. В
изложении результатов мы следуем работам [25, 60].
А. Системы типа I и V. Рассмотрим динамическую систему,
конфигурационным пространством которой является пространство Х° = { х } -
пространство эрмитовых матриц порядка я Хл или,иными словами,алгебра Ли
группы Щл). Фазовым пространством такой системы является кокасательное
расслоение Т*Х°. Отождествляя (Х0)* и Х° с помощью стандартного
скалярного произведения (хь хг) = tr(xi, хг) в пространстве Х°, заметим,
что величина tr(xi, хг) вещественна и мы можем рассматривать элемент Т
*АГ° как пару эрмитовых матриц х и у:
Т*Х°= {(х,у): х,уеХ°}. (3.7.1)
Обозначим через в каноническую 1-форму на пространстве Т*Х° :
в = tr(y dx). (3.7.2)
Соответствующая ей 2-форма
u = dd = lx(dy Adx) (3.7.3)
определяет симплектическую структуру пространства Т*Х°.
148
Гамильтонова система на Т*Х° с гамильтонианом
H=^tr(y2) (3.7.4)
описывает геодезический поток на Л'0:
у = 0, х=у, (3.7.5)
x(r) = b + at, у(г) = а. (3.7.6)
Рассматриваемая система инвариантна относительно точного симплек-
тического действия группы G = U(") :
(x,y)^(gxg+, gyg+). (3.7.7)
Преобразование (3.7.7) с g=g(t) = exp (at) , a ? $( (§ - алгебра Ли
груп-
пы G) , порождает векторное поле на Т'Х°:
(х,у) ~№,Х], [?,у]). (3.7.8)
Это векторное поле гамильтоново и порождается гамильтонианом
F(x,y, ?) = tr (у[$,х]) = tr($[x,y]). (3.7.9)
Мы приходим, таким образом, к отображению момента <р из фазового
пространства Т*Х° в пространство (§*, дуальное алгебре Ли которое мы уже
отождествили с алгеброй эрмитовых матриц
