Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Глава 4
Цепочка
Тоды...................................................................
169
4.1. Обычная цепочка Тоды. Представление Лакса. Полная интегрируемость.
................................................................... 170
4.2. Цепочка Тоды как динамическая система на орбите коприсоединен-
ного представления группы треугольных матриц..................... ' 181
4.3. Явное интегрирование уравнений движения обычной непериодической
цепочки Тоды .......................................... 186
4.4. Цепочка Тоды как редуцированная
система.............................. 190
4.5. Обобщенные непериодические цепочки Тоды, связанные с простыми
алгебрами Ли ..........................................................
194
4.6. Системы типа Тоды на орбитах коприсоединенного представления
борелевских подгрупп................................................ 203
4.7. Канонические координаты для систем типа
Тоды......................... 207
4.8. Интегрируемость систем типа Тоды на орбитах общего положения
......................................................................
212
Глава 5
Разное...................................................................
...... 214
5.1. Равновесные конфигурации и малые колебания некоторых динамических
систем........................................................... 214
5.2. Движение полюсов нелинейных эволюционных уравнений и связанные с
этим интегрируемые многочастичные системы .......................... 218
5.3. Движение нулей линейных дифференциальных уравнений в частных
производных и связанные с этим интегрируемые многочастичные
системы............................................................. 222
5.4. Разное..............................................................
223
Приложение А
Пример компактного симплектического многообразия, не являющегося
кэлеровым................................................................
226
Приложение Б
Решение функционального уравнения
(3.1.9)...................................... 228
Список
литературы..............................................................
231
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель настоящей книги - собрать и представить с общей и универсальной
точки зрения результаты и методы, относящиеся к интегрируемым системам
классической механики. Под такими системами мы понимаем гамильтоновы
системы с конечным числом степеней свободы, обладающие достаточно большим
числом сохраняющихся величин (интегралов движения), так что, в принципе,
интегрирование уравнений движения таких систем может быть сведено к
квадратурам - вычислению интегралов известных функций.
Изучение таких систем явилось важным направлением исследований прошлого
столетия. Отметим, в частности, что именно из этих исследований выросла
теория групп Софуса Ли. Однако в начале нашего века благодаря работам А.
Пуанкаре стало ясно, что глобальные интегралы движения гамильтоновых
систем существуют лишь в исключительных случаях, и интерес к таким
системам упал.
До недавнего времени было известно лишь небольшое число таких систем с
двумя и большим числом степеней свободы. В последние пятнадцать лет,
однако, в этом направлении достигнут большой прогресс. Это связано с
открытием в 1967 г. Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [177] нового
метода интегрирования нелинейных эволюционных уравнений - метода обратной
задачи рассеяния, или метода изоспектральной деформации.
Применение этого метода к системам классической механики дало возможность
установить полную интегрируемость множества классических систем. Заметим,
что все известные системы такого типа связаны с алгебрами Ли, хотя во
многих случаях эта связь и не является такой прямой, как связь, даваемая
известной теоремой Э. Нётер.
Настоящая монография является первой попыткой последовательного изложения
полученных в этой области результатов, содержащихся пока лишь в
журнальных статьях. Книга частично основана на специальных курсах,
прочитанных автором для студентов и аспирантов Московского
Государственного университета. Она рассчитана в основном на физиков-
теоретиков и математиков, может быть использована также студентами
физических и математических факультетов.
К сожалению, из-за ограниченности объема в настоящей монографии не
рассмотрен ряд интегрируемых систем классической механики, известных в
настоящее время. Сюда относятся:
1. Системы с ограничениями (связями) типа движения точки по эллипсоиду
или сфере под влиянием линейной силы.
2. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле тяжести.
3. Движение твердого тела в идеальной жидкости.
4. Движение в периодическом поле конечнозонных потенциалов и ряд других
периодических задач.
Автор предполагает подготовить к печати отдельную монографию, где будут
рассмотрены все эти вопросы.
Различные вопросы классической механики, вошедшие в данную книгу,
обсуждались с моими коллегами и соавторами: Ф. Березиным, М. Бруски, С.
Войцеховским, А. Дегасперисом, Ф. Калодже-ро, С. Камалиным, М. Кацем, И.
