Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
уже отмечалось,'однородную квадратичную форму от ?b ?2, . . ., ?m, qm+u Ят+2, ¦ ¦ ¦
• • Яп-
§ 10.5. Вращающийся волчок. Если ориентацию триэдра, связанного с волчком, определить при помощи углов Эйлера, то, как и в § 8.6, будем иметь
? = y^(02+sin20cp2) +-TC(ip+(pcos0)2 — V. (10.5.1)
Если 1) ось Oz направить вертикально вверх, то получим
V = MgI cos 0 (10.5.2)
и обе координаты ср и гр будут циклическими. Если 2) ось Ox направить вертикально вверх, то получим
V = MgI sin 0 cos ср (10.5.3)
и циклической будет только координата гр.
В случае 1) можно исключить обе координаты фигри составить функцию Лагранжа только с одной координатой 0. Тогда будем иметь
рф = A sin2 0 ср + С cos 9 (гр + cp cos Є) = ?b (10.5.4)
р„ = С (ip + ср cos 0) = ?2 (10.5.5)
и
2(R + V) = Qpo — фрф — гррф =
= AQ2 — ip {A sin20cp-l-Ccos0(Tp + cpcos0)} — СІр (гр + ср cos 0) = = AQ2 — A sin2 0 ф2 — С (гр + ср cos 0)2 =
= ^Є2-^ж5Т^-^созЄ)2--сТ^- (10-5-6)
В обозначениях § 8.6
рф = P1 = 2А1, ру = ?2 = 2Ар, MgI = Aq, (10.5.7)
и мы находим (опуская постоянный член) с точностью до постоянного положительного множителя
# = 1-02--^^ (д.-р cos0)2-?cos0. (10.5.8)
Интеграл энергии (§ 6.7), определяющий соотношение между t и 0 в процессе движения, имеет вид
|0Н -^q-(^-pcos0)2 + ?cos0 = u, (10.5.9)
эквивалентный (8.6.9).
S 10.6]
ЛИНЕЙНЫЕ ЧЛЕНЫ В ФУНКЦИИ L
183
В случае 2) (и также, конечно, в случае 1)) можно исключить координату ¦ф и составить функцию Рауса с двумя координатами 0 и ср:
R^L- P^,, (10.5.10)
ГДЄ р,,, = С (ф + ф cos 0) = ?. (10.5.11)
Здесь
R = j A (02+sin2 0 ср2) + ?cp cos 8 — V. (10.5.12)
Постоянный член мы отбросили. Эту функцию Лагранжа можно использовать для изучения движения оси; если V = MgI cos 0, то мы снова получаем результаты § 8.6; если же V = MgI sin 0 cos ф, то приходим к результатам § 9.9.
§ 10.6. Линейные члены в функции L. В случае натуральной системы
(§ 6.5) T является однородной квадратичной функцией от q. Функция Лагранжа, составленная по методу Рауса, содержит, однако, еще слагаемые,
линейные относительно q:
T1 = A1J1 + a2qz + . . . + anqn, (10.6.1)
где п обозначает теперь число явных координат, т. е. эффективное число степеней свободы системы, для которой R играет роль функции Лагранжа. Выше (в §§ 6.1 и 6.6) уже отмечалось, что такого рода линейные члены появляются и в других случаях, например в некоторых задачах, где фигурируют силы, зависящие от скорости; в дальнейшем нам еще встретятся примеры, когда в L входят линейные члены.
Функция T1 добавляет к левой части r-го уравнения Лагранжа выражение
d і OT1 \ OT1
dt \ ^ I dqT
ИЛИ
dar-
bt
2ТгІ8, (10.6.2)
S=I
где
^ = ?—{la6-3)
Если коэффициенты а зависят только от q и не зависят от t (что имеет место, например, если функция Рауса составлена путем исключения координат из из натуральной системы), то линейная форма T1 порождает в уравнениях движения антисимметричные линейные члены, называемые гироскопическими членами. Вектор, r-я составляющая которого равна Qr,
п
^r=-Sv«?., (10.6.4)
S=I
п •
не совершает работы во время движения, поскольку ^ QrQr = 0. Поэтому
г=1
линейные члены в функции Лагранжа не входят в уравнение энергии; с этим фактом мы уже встречались ранее (§ 6.8).
Мы видели выше, каким образом появляются л нейные члены вида (10.6.1) в функции Лагранжа (для явных координат), образованной с помощью
184
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. X
процесса исключения. Рассмотрим теперь случай, когда линейные члены в функции Лагранжа появляются из-за наличия сил, зависящих от скорости. Возьмем в качестве примера задачу о движении материальной точки относительно неподвижной прямоугольной системы координат. Предположим, что функция L содержит линейные члены:
или, что то же,
Tx = Px + Qy -г Rz Ti=T-F-V,
(10.6.5) (10.6.6)
где F — вектор {Р, О, Я}, V — вектор {х, у, z}, а Р, Q, R — функции от х, у, z; t, принадлежащие классу C1. Полная функция Лагранжа имеет вид
L = у т (х2 + у2+ z2) + (Px +Qy+ Rz) - V, (10.6.7)
где V = V (х, у, z; t). Напишем уравнения движения
m'^=—W—W + (k-^ (Ю.6.8)
и два аналогичных; через ?, r\, ? здесь обозначены составляющие rotF:
(10.6.9)
dR r dQ дР дх ' дх ду
В векторной форме уравнение движения можно записать так:
• • dF
mr = — grad V--+ v X rot F.
(10.6.10)
Таким образом, если на частицу действует сила, порождаемая потенциальной функцией V, и сила вида — ^ -{¦¦VX rot F, то функция Лагранжа имеет
форму (10.6.7).
Рассмотрим некоторые важные частные случаи.
1) Частица находится под действием силы притяжения к точке О (или отталкивания от этой точки), причем величина силы притяжения (отталкивания) пропорциональна г, так что
V = 4- mkr2 = тк (х2 + у2 + Z2),
(10.6.11)
где к > 0 для случая притяжения и к <С 0 для случая отталкивания. Пусть, кроме того, имеется еще гироскопическая сила G-Xv, где G — постоянный вектор. В этом случае вектор jPHe зависит от t и G = — rot F, так что составляющие F являются линейными функциями от х, у, z с постоянными коэффициентами. Если, в частности,
