Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть, далее, ср (х, у, z) = 0, cp ? C2, будет уравнением поверхности. Тогда координаты частицы х, у, z должны во все моменты времени удовлетворять соотношению
Ф (х, у, z) = 0. (1.5.1)
Это условие можно выразить и иным способом. Можно считать, что
• • •
составляющие скорости х, у, z связаны между собой однородным линейным уравнением
коэффициенты которого — заданные функции переменных х, у, z класса С\. Иначе говоря, однородное линейное уравнение
+ f <^ + ^ = ° (1.5.3)
связывает дифференциалы dx, dy, dz возможного бесконечно малого перемещения частицы. Нет необходимости подчеркивать, что (1.5.3) — точное уравнение. Оно в точности эквивалентно (1.5.2). Каждое их трех уравнений (1.5.1), (1.5.2), (1.5.3) мы будем называть уравнением связи. По причинам, которые вскоре станут ясными, последнее из них — уравнение Пфаффа — является наиболее удобным.
Заметим, что уравнение связи — будем говорить в данном случае об уравнении (1.5.2) — удовлетворяется всеми возможными составляющими
28
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Гл. I
скорости х, у, Z1 которые могла бы иметь частица, находящаяся в точке х, у, z. Частица может начать движение из этой точки с любой скоростью, удовлетворяющей уравнению связи. Когда мы рассматриваем какую-либо конкретную задачу, в которой частица проходит через точку і, у, г в момент t, то одна из этих скоростей является действительной. Уравнение связи, однако, удовлетворяется всеми гипотетическими скоростями, которые частица могла бы иметь.
Совокупность перемещений dx, dy, dz, которые частица может совершить за время dt, двигаясь из точки х, у, z, назовем возможными перемещениями Перемещение, которое частица совершает в действительности за время dt. находится среди возможных перемещений.
Механизм, посредством которого действительное движение осуществляется в соответствии с уравнением связи, хорошо известен. На частицу действует дополнительная сила — реакция поверхности. Эта сила направлена по нормали к поверхности — именно это имеют в виду, когда говорят, что поверхность гладкая. Это единственное ограничение, наложенное а priori: величина этой силы никакому ограничению не подчинена. Поверхность может вызывать нормальную реакцию любой величины (и знака). Величина этой реакции будет такой, что частица, двигаясь под действием обеих приложенных к ней сил, будет все время оставаться на поверхности.
Реакцию поверхности на частицу называют реакцией связи. Рассмотрим более подробно природу этой силы. В нашей задаче единственным наложенным на реакцию ограничением является требование, чтобы она была нормальна к поверхности. Пытаясь обобщить это требование, естественно спросить: «Какова общая характеристика реакции связи, частным примером которой является реакция поверхности?». Ответ хорошо известен: он дается принципом виртуальной работы в статике. Реакция связи не совершает работы на любом возможном перемещении. Справедливость этого утверждения очевидна. Если составляющие, силы реакции обозначить через X', Y'. Z', то будем иметь
X _ Y' Zr (15 4)
o<p оф оф ' \ ' ' >
дх ду dz
откуда
X'dx + Y'dy H- Z'dz = 0 (1.5.5)
для любого перемещения dx, dy, dz, удовлетворяющего уравнению связи (1.5.3).
В этом простом примере каждая из действующих сил принадлежит к одному из двух классов: классу заданных сил и классу реакций связи. Заметим, между прочим, что в элементарной механике силы часто классифицируют по другому признаку: их разделяют на внешние и внутренние. Имеются системы, для которых разделение сил на заданные силы и реакции связи оказывается несущественным. Однако такие системы в этой книге рассматриваться не будут.
§ 1.6. Несвободная материальная точка (случай II). Усложним немного задачу. Пусть теперь частица движется не по фиксированной гладкой поверхности, а по изменяющейся гладкой поверхности гр (х, у, z, t) = 0, гр ? C2. Три формы уравнения связи запишутся следующим образом:
гр (х, у, z, 0=0, (1.6.1)
S 1.6]
НЕСВОБОДНАЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА (СЛУЧАЙ II)
29
Эти уравнения существенно отличаются от соответствующих уравнений § 1.5. Прежде всего, коэффициенты новых уравнений зависят, кроме х, у и z, еще и от t, но это отличие не основное. Фундаментальное различие между уравнениями (1.5.2) и (1.6.2) состоит в том, что первое из них есть однородное линейное уравнение, связывающее составляющие скорости х, у, z, тогда как второе не является однородным. Аналогично, уравнение (1.6.3) отличается от уравнения (1.5.3) наличием слагаемого, содержащего dt. Реакция связи остается нормальной к поверхности, так что
— =-- — = —, (1.6.4)
дх ду dz
но теперь уже неверно утверждение о том, что работа реакции связи на любом возможном перемещении равна нулю. Мы здесь имеем другой класс перемещений 8х, 8у, 8z, удовлетворяющих уравнению
?** + %*У+%* = °- (1-6-5)
Эти перемещения мы будем называть виртуальными перемещениями; они существенно отличаются от возможных перемещений. Работа реакции связи на любом виртуальном перемещении равна нулю. Соответствующие скорости х, у, z называются виртуальными скоростями; они удовлетворяют уравнению
