Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Так, например, в случае продольных колебаний стержня аналогично сказанному принимается, что продольные перемещения и (х, t) описываются тем же произведением
(1.19). При этом граничными условиями будут: на свободном конце /' (я*) = 0, на закрепленном конце / (?) = 0. При помощи прежних рассуждений можно получить собственную частоту в виде
j EF (*) [/' {x)fdx
О
— Ї J т (ж)’/8 (х) dx
о
где F(x) — площадь сечения стержня.
Пример 1.3. Двухмассовая система (рис. 1.4, а) определяется следующими параметрами: т,\ = тг = т, с\ = C2 = с0.
3 я. Г. Пановко
(1.27)
34
ГЛ., I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Найти собственную частоту по методу Рэлея, приняв х2 = axt (а — постоянная), и исследовать, как влияет выбор значения а в пределах 0 -і- 3 на вычисляемое значение собственной частоты.
В данном случае имеем
Следовательно, a = т(I-J- а2), с = с0(а2 — 2а + 2) и собственная частота равна
Зависимость коэффициента 1Y от значений а (а > 0) показана на рис. 1.4, б. Как указывалось выше, при произвольном выборе а вычисленное значение окажется выше истинпого; точный результат у = 0,618 (см. ниже пример 4.3) соответствует точке минимума кривой на рис. 1.4, б, где а = 1,618. Из графика, между прочим, видпо, что в зоне минимума значения а довольно слабо влияют на величину у. Поэтому из-за произвола, допускаемого при выборе значения а, обычно пе возппкают большие ошибки в определении собственной частоты.
Как правило, то же отпосится и к другим мехапическим системам— в этом и состоит практическая цеппость метода Рэлея.
Пример 1.4. Найти методом Рэлея собственную частоту колебаний консольной балки постоянного поперечного сечения EJ = = coast; считается также постоянной интенсивность т ее массы (рис. 1.5).
Примем сначала
что удовлетворяет кинематическим граничным условиям па левом конце и одному из силовых условий на правом конце (сило-
Ш77ШШ77ШШЛШ777,
а
1 1,618 2 За
S
Рис. 1.4
Рис. 1 5
2
f(x) = T’
(а)
§ і. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
35
вое условие /"(Z) = 0 здесь нарушено!). Подставляя (а) в (1.26), вычисляем
, 4,47 I /EJ
к~ I* V т *
Б качестве формы колебаний лучше принять функцию
2 3 4
X X X
/ (*) — 21 ~ з і" + 12 Iя ’ которая удовлетворяет всем граничным условиям задачи:
/(0) = о, /' (0) = о,
Г т = о, г (і) = о.
Подставив (б) в формулу (1.26), найдем
3,64 /~~EJ
к — р У т’
что лишь на 3,4 % отличается от известного точного значения
3,51 i/EJ
3. Зависимость устойчивости равновесия от коэффициента жесткости. Во всех рассмотренных выше случаях речь шла о колебаниях около положепня заведомо устойчивого равновесия; формальным признаком устойчивости служит положительность коэффициента жесткости с, равного значению второй производной П"(0) потенциальной энергии в положении равновесия. В реальных механических системах может оказаться, что с < 0.
При с < 0 основное дифференциальное уравнение (1.10) можно записать в виде
aq — с*д = 0, (1-28)
где с* = IcI — абсолютное зпачение обобщенного коэффициента жесткости. Решение уравнепия (1.28)
q = A sh(k*t + a), (1-29)
где к* = Ус*/а, описывает монотонное удаление системы от равновесного положения и свидетельствует о его неустойчивости.
Знак коэффициента с зависит от параметров системы, т. е. в некоторых случаях состояние равновесия может
быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от
комбинации значепий этих параметров.
3*
36
ГЛ., I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЙ
Обращаясь к рассмотрению таких случаев, будем считать, что существует лишь один варьируемый параметр S системы, при изменении которого может измениться знак коэффициента жесткости c = c(S). Состояния равновесия устойчивы в той области значений S, в которой с (S) > 0; при с (S) < 0 состояния равновесия неустойчивы (случаи «отрицательной жесткости»). Критические значения параметра S являются корнями уравнения
с (5) = 0. (1.30)
Пример 1.5. Для симметричной системы, изображенной на рис. 1.6, введем обозначения: G — вес тела, I — момент инерции тела относительно оси шарнира, с0 — суммарный коэффициент
Рис. 1.7
жесткости обеих пружин, Ъ — высота расположения центра тяжести тела, I—высота расположения оси пружип. Найти критическое значение коэффициента жесткости с0.
При малых значениях угла отклонения тела дифференциальное уравнение вращательного движения имеет вид
/ф+ (C0I2-Gb)v = 0.
Таким образом, в данном случае устойчивость равновесия определяется знаком разности
с = C0I2 — Gb.
Критическое значение с0 „р = Gb/І2.
Пример 1.6. Найти критическое значение силы P для системы, изображенной на рис. 1.7, а; весом верхнего стержня пренебречь. Коэффициент жесткости спиральной пружины, расположенной внизу стойки, равен с0 (с0 представляет собой упругий момент, соответствующий повороту стойки вокруг шарнира на угол, рав-
§ 1. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЁНИЯ
37
пый единице). Обозначим: I — высота стойки, Ъ — длина верхнего стержня, G — вес стойки. Силы, действующие на стойку, при ее отклонении на малый угол ф, показаны на рис. 1.7, б.
