Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
По условию задачи
то2
Е0 = - mgR', М0 = mv0R cos p.
2
Следовательно,
б(r) - 1 - (2 - k)kcos(r)p; p = kRcos2p; k=--; (2)
gR
k cos(r) В - 1
S(P<) _ У I - (2 - A)ftcos"p *
Из (2) найдем, что при fecos8p<l щ>я/2, при A cos2 р>1 ф0<я/2. Траектория
лежит между углами ф1=фо и
Движение под действием силы тяготения
123
Для точки бросания или падения из уравнения траектории находим
? .
. S
1 - 8 COS
2R
Следовательно,
= 2"atccoS[(l-----
Например, для достижения диаметрально противоположной точки поверхности
Земли необходимо, чтобы р-Я или fccos2p = l.
При заданной скорости дальность Si может быть достигнута при углах
бросания Pi и р2
cosa plf2 = -±- [(2 - (2 - k) *2 ± х /(2 - A)2*2- 4 (1 -k)\,
X - cos 81
2R
2.43. Используя результат предыдущей задачи
s
cos
2R
из условия dj^-cos = 0 находим, что cos2 P = 1 - -
2-ft 2 Rg-vl
При этом
- ** ; e2 - 1 -
cos
2 - ft
sraax 2/ 1 -ft
2R 2 -ft
(в случае < gR\ P == я/4).
2.44. Используя результаты предыдущей задачи, находим, что
при
2/1 - ft ъ ~
cos -- >--------------- (k - vo/gR)
2R 2-ft 4 '
задача не имеет решения. Минимальная скорость определяется из условия
so 2/гаг
124
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл 2
т. е.
а угол бросания
Я So
(при По <gR\ yo~gs0; р = я/4).
Для того чтобы бросить тело на расстояние s0^nR, минимальная начальная
скорость должна быть близка кV gR , а угол р~0 (в этом предельном случае
тело должно двигаться по траектории, близкой к окружности).
2.45. Из интеграла момента импульса и уравнения орбиты тела имеем
Последнее выражение проинтегрируем в пределах от -фо/2 до Фо/2, где фо
определяется условием (см. решение задачи 2.42)
Тогда найдем время полета
тг2 ф = М0;
4ф
трг d(p
М" (1+8 cos ф)а
/-Г ^
(1 + е cos ф)2
"Фо/2
+Фо/2.
Движение под действием силы тяготения
125
2.46. Используя интеграл момента импульса и уравнение орбиты, получим
(ф) - _(r)_ (1 4. е8 + 2еcos<р),
тр
откуда следует, что
v* (г) = 1 + е8 + 2 (- 1
тр [ \ г
2.47. Угол между радиусом-вектором и скоростью тела обозначим через 0.
Тогда из закона сохранения момента импульса получим
М0
_?" . _1
у т vj
Отсюда, учитывая зависимость и (г), найдем
sin 0 = -
mvr у т vr
"."й = >L + "co"T
у 1 + "а 4 2е cos<p
Затем, имея в виду, что
> 1 dr . 1 dr м
C<^S (r) v v diр ^ v d<р тг*
получим
п " sin Ф
COS 0 - -----X-.........:....
у 1 4 е2 4 2е cosf
2.48. Используем гелиоцентрическую систему отсчета. Учитывая, что период
обращения кометы связан с величиной а ее большой полуоси формулой
Г = 2п1/4-. и имея в виду, что а = (га 4 гр), находим
где Т0 - период обращения Земли вокруг Солнца; а0 - большая
полуось орбиты Земли.
2.49. Поместим начало координат в центр Земли, а координатные оси
направим на "неподвижные" звезды (эта же система будет использована в
задачах 2.50-2.59). Используя-закон сохранения энергии
га
mgR8 отро mgR*
126
Законы изменения импульса, момента и энергия
[Гл. 2
и полагая в нем г-оо; о=0, найдем начальную скорость и0 для
параболической орбиты
При Vo<vn орбита эллиптическая, а при v0>vn - гиперболическая.
Если угол между начальными скоростью н радиусом-вектором точки равен 90°,
а скорость точки
gR*
то орбитой является окружность. При v0>vc центр Земли оказывается
ближайшим к точке фокусом, а точка выведения - перигеем орбиты; при Vo<vc
центр Земли оказывается дальним фокусом, а точка выведения - апогеем
орбиты.
Для того чтобы спутник двигался над поверхностью Земли, необходимо
выполнение условия
= ->Д. (1)
г
mln
1+*
Пусть в момент выведения угол между начальными скоростью и радиусом-
вектором спутника был равен я/2. Тогда
°о 'о . "2 1 , ro vl / а 2gR*
W \ r0
gR*
Используя эти выражения, запишем условие (1) в виде
т Го Го -Г R
{величина, стоящая справа, меньше vc).
2.50. Условием пролета спутника над Землей является
Г"'" = -Т+Г>Л
Обозначая через а угол между начальными радиусом-вектором и скоростью
спутника и учитывая, что
2 J2
(тол та sin о)1 "о 'о
Движение под действием силы тяготения
127
из (1) находим
(-*)
2
vl>vc{a)\ vc = -~ rj-L-gR.
'о , * 1
-- sin(r) а - 1 R*
Следовательно, угол а удовлетворяет условию
р
6ina> = sin Р, т. е. а >(5,
Го
где р - угол между образующей искомого конуса и его осью.
2.51. Скорость спутника равняется расчетной скорости на круговой орбите
данного радиуса, т. е.
р0 = j/", г0 = Я+А.
В то же время ввиду отклонения расстояния от расчетного полная энергия и
момент импульса равны
Е = Л1 ~2г" •
2гх
M = mR l/ -гх, гх = г0 + Дг.
У Го
Таким образом, эксцентриситет и параметр эллипса равны
[
(ri - д) т\
1 + Л
Х>2 А
Аг
Го
Р=-^ = г0(1 + -^)2^Я + Л-Ь2Дл 'о V Гв /
Подставляя числовые данные, найдем
в = 4-10~4; р = (6,680 + 0,006) • 10* м.
2.52. Эксцентриситет и параметр расчетной орбиты соответственно равны s0
= 0; р0 = ra = R + А. Для реальной орбиты полная энергия совпадает с
расчетной
? 1 mgR*
2 /*о
Поскольку расчетная скорость
о
о
Y*-
128_____________Законы изменения импульса, момента и
