Лептоны и кварки - Окунь Л.Б.
ISBN 5-02-014027-9
Скачать (прямая ссылка):
рис.
3.1, а, эквивалентна диаграмме , . у (а) рис. 3.1, б. Матричный элемент
у
этого последнего процесса имеет зид
M=y=rvllOaii.'eOave,
где Оа = О? = Уа0 + Y*). а сим- в(к) aVft(cM волы частиц означают их
волно- Рис 3 {
вые функции. С помощью преобразования Фирца (см. гл. 28,
п. 3.4) этот матричный элемент может быть'1 приведен к виду М = - --FOVVW
Комплексное сопряжение последнего выражения дает
М* = М* = - -= v+OP+YoVn • р+0? yte =
О
yf v? YoYoOp+YoVn • р+YoYoOp Y"e = - y=- га0% ¦ рОэе.
22 3. РАСПАД мюонов
(Мы воспользовались тем, что YoGe+Yo = 0е, поскольку Vo[Yo(l+Y*)]+Yo =
Yo(l +Y5)YoYo = Yo(1+Y5) и также Yo[Y(1 + + Ys)] +Ye -Yo(l +Ys)(- Y)Yo =
(l- Ys)Y = yO +Ys)- Аналогична YoOpYo = Op.) Таким образом,
r.z _
| M |a = MM* = - -J гйОар • eOaveVgO^nO^e =
G2 - - - -
= - ^ ¦ eOaveveO%.
Воспользуемся теперь тем, что, согласно гл. 28, п. 4.8, матрица плотности
для неполяризованной дираковской частицы имеет вид
'2u*(s)ui(s) = (p + m)f,
S
где сумма взята по поляризационным состояниям частицы s, р- ее 4-импульс,
а т-масса, i, k-биспинорные индексы (t, й = 1" 2, 3, 4). Тогда
ПЙТа = - у Tr qfia (р + /яй) 0Э (k + те) OJhO*.
Здесь черта над | Л1 (а означает суммирование по спиновым состояниям,
символ Тг - след стоящего справа от него произведения матриц. Поскольку
у5уа= - YaYs и поскольку (1 + Ye)2 =
= 2 (1 Ч-Ye), то
| М |2 = - 8- Тг q^py^q^(1 + Ys) =
= 8Ga Tr^jjky&Pqrf (1 Ч-Ys) = 32G* (pqj Trq2k(l + Ys) =
= l28Gt(pql)(kqt).
(Получая это равенство, мы учли, что уаАВСуа = -2 СВ А, уРАВуа = 4AJ5,
см. гл. 28, п. 3.1.)
Вероятность распада
Теперь мы можем вычислить вероятность распада по формуле (см. гл. 28, п.
4.2) /
dr=mdcD.
2-2m
Здесь dT-дифференциальная вероятность распада в единицу фазового объема
dd>, множитель 1/2 отражает то обстоятельство, что по поляризациям мюона
мы усредняем, а не суммируем; множитель 2т (где т-масса мюона) связан с
выбранной нами нормировкой волновых функций частиц. В соответствии с
Приложением (см. гл. 28, п. 4.2)
dd) = (2я)4 б4 (p-k-qx- q2) 2? (2я)3 2й)1 ^я)" 2а>а рп)*'
ВЕРОЯТНОСТЬ РАСПАДА 23
где Е, (Ох, со*-энергии электрона, ve и vM; fc, qt и q2-их импульсы.
Поскольку нейтрино не регистрируются, мы проинтегрируем по их импульсам.
При этом нам придется вычислить интеграл
V= J 64 (41 + ?2-<?)> q = p-k.
Запишем ожидаемый ответ в виде суммы двух взаимно ортогональных
слагаемых:
= A (q2ga& + 2qaq&) + В (q2gafi-2qaq^);
здесь ga?-метрический тензор (см. гл. 28, п. 1), q-суммарный 4-импульс
двух нейтрино, А и В-безразмерные коэффициенты, которые мы сейчас найдем.
Умножая обе части равенства на q2g?*-2qaq&, получим
Я-4?4= I qujviff*-2?V) ••• = $ [<72(<7i<72)- 2{qqJ(qqt)]...=0,
поскольку q2 = (q1 + qi)2 = 2q1qi, qq1 = (q1 + q3, q1) = q1qi, qq2 = =
(<7i + q2, q2) = <7i<72. <7i = <7l = О (масса нейтрино равна нулю).
Умножая теперь обе части тензорного равенства на q2ga^ +2qaq(i и выполняя
интегрирование в системе центра масс двух нейтрино, получим
А ¦ 12q* = q* J б4 (q, + qt-q) = q* J 6 (2(c),-(r)) =
= <744яу-
Следовательно, Л=я/6. Итак,
/а3=у(<72?аэ + 2<7а<7э), ГДе q = P~k-Подставляя это в выражение для
ширины распада, имеем
^ = 2-2от (2л)6-2-2 ТГ \ЯгЕа" + 2<7а<7р] i^r =
=шчк\.ч2т+^ыт}^-
Пренебрежем массой электрона по сравнению с его энергией. Тогда qk = (p-
k, k) = pk = тЕ, q2 = (p-k)2 = p2-2pk=m2-2mE. Осуществив интегрирование
по углам вылета электрона (оно даст 4я), получим
^ = ШШ №) (P*~2Pk + 2p2-2pk) EdE =
= jgr (3m2-4тЕ) E2dE = ^g-(3- 2г) г2 Л,
где е = E/EmdiX = 2Е/т. В случае четырехфермионного взаимодействия
наиболее общего вида спектр электронов в распаде мюонов
24 3. РАСПАД мюонов
может быть записан в виде
Г(е)^е=12г[(1-е)--|р(3-4е)] e2de,
где коэффициент р носит название параметра Мишеля. (Слагаемое,
пропорциональное р, дает нулевой вклад при интегрировании по всему
спектру значений 0 е ^ 1.) Легко видеть, что-полученный нами спектр
отвечает р = 0,75. Интегрирование по спектру электронов дает полную
ширину распада
~ 0*от6 Г/0 о \ , G2m6
• J (3-2е) &2d&=-
х - 96я* J v " 192л3
о
Распад поляризованного мюона
Пусть в системе покоя мюона его спин направлен по единичному вектору ц.
Тогда, согласно гл. 28, п. 4.3, матрица плотности мюона имеет вид
ы*(s) ы,- (s) = j[(p + m) (1- y6s)]?,
где 4-вектор s" обладает следующими свойствами: s3 =-1, sp = 0. В системе
покоя мюона s° = 0, s = tj. В системе, где мюон движется с импульсом р,
оО_Л?1 | Р(у)_
т ' * - т(Е+т)'
Если теперь в проделанном выше расчете заменить Ср + т) - 1 (р + т) (1 -
yss), то в полученном нами выражении
^-Ш^1яЧрк) + 2(др)(дк)]^ придется сделать замену
р-ур-ms. j
(Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ту часть следа, куда входит матрица
плотности мюона и ее ближайшее окружение
Тг... (1+у5)(д + т)(1 -y5s)yp(l+y5)... =
= Тг... (1 + у8)(д -my5s+m + y5ps)(l-у6)уэ... =
= Тг... (1 + у5) (р-myts) уз (1 +у5). •. =
= Tr... (1+у5)(д-ms)Y3(l + Y5)...
Члены m+ysps дали нуль, так как они умножились на (1 +У5) (I-Ув)г Что
