Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
qj = Cjext, (4.3)
где Cj—постоянные интеграции. Подставляя эти значения в уравнение (4.1) и сокращая на еи, получаем систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно Cf.
t Zij(^)Cj = O (4.4)
j Jbl
или в развернутой форме
/и (X) C1 -j- Zi2 (X) C2 -)- ... -j- fln (X) Cn = 0,
/210*) C1+/22 (X) C2 4- ... -j- f2n (X) Cn = о,
Sn\ W Ci+/„2 W C2 + ••• f nn(fyCn — о*
202
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Условием совместности этой системы является равенство нулю ее определителя A(X)1 называемого характеристическим определителем:
A(X):
/и (X) /I2W • • fin (X)
f nl (X) Zn2W • • f пп (X)
= 0.
(4.5)
Уравнение (4.5), степень которого равна 2п, называется характеристическим уравнением. Корни этого уравнения могут быть как вещественными, так и комплексными, но только попарно сопряженными, так как в уравнении (4.5) все коэффициенты вещественны. Во избежание усложнений будем предполагать, что все корни уравнения (4.5) простые *). Каждому корню Xs этого уравнения соответствует своя система решений (4.3). Таким образом, полное решение представляется в виде
2 п
Qj=^CfekSt. (4.6)
S = I
На первый взгляд мы имеем 2п2 произвольных постоянных. Однако это не так. Если обозначить через Ajl (X) минор характеристического определителя, соответствующий J-й строке И 2-му столбцу, то, как известно,
С}*'= ... : = /1п(Х5): An(Xs): ... : Aln(Xs), (4.7)
где I — номер строки, которая произвольна. Напомним, что минор /-й строки и г-го столбца определителя получается вычеркиванием соответствующих строки и столбца и умножением на (—1У + г; такой минор с учетом знака называется также алгебраическим дополнением. Итак, опуская для сокращения записи обозначения зависимости элементов от X1 имеем
ЛЯ(Х) = (-І)
1<
/и • • /і, і-if I, 1 +1 • • • fin
f 1-1, 1 • • • f1-1,1-if 1-1 i + 1 ¦ • ¦ f 1-1, n
f 1+1,1 • • • f 1+1, І —if 1 + 1 і + I " * • f] + l,n
fnl ¦¦ fn, i — lfn, i-f-1 • • fnn
*) Случай кратных корней подробно разобран в книге [31J.
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ
203
Имея в виду соотношения (4.7), можем написать
Cf = KsAlj(Xs), (4.8)
где Kv .... K2n — произвольные постоянные. Следовательно, произвольных постоянных оказывается как раз столько, сколько нужно, т. е. 2п.
Вещественным корням Xs соответствуют апериодические движения, а сопряженным комплексным — колебательные. В самом деле, пусть, например, X1 и X2—величины сопряженные, т. е.
== Ct —1“ р/, X2 == ct — р/.
Тогда, очевидно, сопряженными должны быть и миноры Aij-(X1) и Alj(X2) для каждого J. То же можно сказать и
о постоянных Cf и Cf:
Cf = Dj-^tEj, Cf = Dj-IEj,
где Dj, Ej — действительные постоянные. Иначе говоря, комбинация двух решений дает
Cf + Cfeht = 2eat (Dj cos р* — Ej sin р*).
Вещественные отрицательные корни X или же отрицательные вещественные части комплексных корней характеристического уравнения определяют собой устойчивые компоненты движения, тогда как положительные корни или положительные вещественные части — неустойчивые компоненты,. Система неустойчива, если неустойчива хотя бы одна компонента. Нулевой корень дает постоянное смещение, а пара чисто мнимых корней — гармоническое колебание. Итак, характер корней влияет на качественную картину движения. В следующих двух параграфах мы подробно рассмотрим вопрос об устойчивости.
§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ
А. Общие понятия
В начале первой главы (§§ 2 и 3) были сформулированы определения устойчивости равновесия и движения системы. Обобщая оба определения, можно говорить об устойчивости состояния системы, под которым подразумевается либо
204
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
равновесие, либо заданное движение, когда речь идет о механической системе, либо же вообще какое-то, известное заранее, состояние в общем случае любой системы (например, в электрической системе состояние может характеризоваться совокупностью зарядов и контурных токов). Как уже говорилось ранее (гл. II, § 2), состояние системы характеризуется ее фазой, т. е. совокупностью фазовых координат, которыми в механической системе служат обычно обобщенные координаты qx, q2, .. ., дп и обобщенные скорости
Qv Ч2......Qn'
Мы говорим (см. гл. I, § 3), что система устойчива, если для заданных пределов E1 и е2 вариаций координат и скоростей соответственно можно указать такие значения S1 и 62 начальных возмущений, что при начальных условиях
|Д<Т0|<6,, |Д$|<62 в последующем движении будут выполняться неравенства
I ^Qi I < Єї- I ^Qi I < є2-
Если невозмущенное состояние есть состояние покоя, то вариации скоростей равны самим скоростям, и мы имеем определение устойчивости равновесия; в этом случае обычно и координаты отсчитывают от состояния покоя, т. е. вариации координат принимаются равными этим координатам. Если же невозмущенное состояние есть некоторое заданное движение, то сформулированное определение устойчивости относится к движению. Здесь уже вариации координат и скоростей вообще не совпадают с координатами и скоростями движения соответственно.
