Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
с помощью унитарного оператора U, обладающего свойством
А
U\au...,ak\P)\al,...,am\b) =
. , «, ,-.,Omia, ,...,ат< 1 ^ 1 (9.3.8)
2 U , і U „
, . "¦.....а»';а1.......%/ а>- --",,,"!flI.....ат‘
т
= 5 „6 „ ... 5 „ (9.3.9)
mm U1U1 атат" К
201
При этом преобразовании коэффициенты .............а . а .....0т разложе-
ния (9,3.2) преобразуются по следующему закону:
“і.......ак’а і.........em*
? Ф I/ ‘ , . ,
т “і......ак'-ах.........ат aI............вт ’ і...........ат>
eI • ••• • ат
(9.3.10)
а коэффициенты матрицы R , , . , вследствие условия уни-
uP •••! I uI » •••»
тарности (9.3,9), остаются неизменньїми.
Нетрудно убедиться, используя соотношение (9.3.5) для единичного one-
А А
ратора F = I, что для нормированного состояния |Ф> (<Ф|Ф> = 1) матрица плотности р удовлетворяет условию нормировки Spp ( P ) = 1,
§ 9.4, Матрица плотности и производящий функционал для квантовых эффектов в черных дырах
Теперь после изложения общей формальной схемы мы обратимся непосредственно к вопросу о ее применении для описания квантовых эффектов в черных дырах. Для простоты мы ограничимся рассмотрением теории безмассового нейтрального скалярного поля ір в пространстве-времени вращающейся черной дыры. Случай безмассовых полей является наиболее важным, поскольку, с одной стороны, именно безмассовые поля дают основной вклад в квантовое излучение черных дыр, а с другой стороны, это рассмотрение дает хорошее приближение при описании рождения массивных частиц в случае, когда хокинговская температура черной дыры много больше энергии покоя этих частиц, и для их описания можно пользоваться ультрарелятивистским приближением. К обсуждению влияния спина, массы и заряда частиц на процессы их рождения в черных дырах мы вернемся позднее.
На рис. 75 изображена диаграмма Пенроуза для пространства-времени
вращающейся черной дыры, возникающей’ в результате коллапса массивного тела. Будем считать, что координата опережающего конформного времени Бонди и выбрана таким образом, что световой луч, посланный с 3' в момент и = 0, достигает точки г = 0 точно в момент возникновения горизонта (см. рис. 75). Поскольку после образования черной дыры она довольно быстро становится практически стационарной, мы будем считать, что волновые пакеты, испущенные с Cf', начиная с не-
Рис. 75. Диаграмма Пенроуза пространства-времени вращающейся черной дыры, возникающей в результате коллапса массивного тела
202
которого момента опережающего времени и = U1, движутся все время в метрике, совпадающей с метрикой Керра. Для построения базисных вол-
Обозначим через Vcjlm решение уравнения (9.4.1), обладающее тем свойством, что его образ Vwlm на 3~ (^ы,т(М,vO = Hm [rvwtm(r,
где и — координата опережающего конформного времени Бонди (см. § 5.1). Для дальнейшего оказывается удобным рассматривать в качестве базисных не сами функции Vwlm, а построенные из Них решения типа волновых пакетов. С этой целью зафиксируем действительное число E (О < E < 1) и обозначим (/ > 0)
Условимся далее коллективный индекс і піт обозначать кратко через а. Волновые пакеты Ua на содержат частоты в интервале от іE до (/ + I) E, имеют максимум вблизи значения опережающего времени и = IimjE и обладают шириной Av ~ In/E.
Заметим, что для рассматриваемой теории безмассового поля поверхность Л” в пространстве Пенроуза играет роль полной поверхности Коши и каноническая форма-*/? для пары ,\р2 решений уравнения (9.4.1):
новых функций мы используем разложение решений волнового уравнения
Uy = 0
в метрике Керра по сфероидальным волновым функциям
(9.4.1)
где Sr определены как ограниченные на интервале [—1, 1] собственные функции оператора
удовлетворяющие условиям нормировки
1
f S™(z)S™(z)dz = S11..
(9.4.4)
-1
u > в . Ф) ] ) имеет вид
V, в, Ip - const
(9.4.5)
(9.4.6)
Bit1,*2) = I -V1V*»)SvtldoV
(9.4.7)
Г
допускает следующую запись:
B(tfl ,у2) - f (Ф1 Э„Ф2 - Ф2Э1)Ф1) dvd<x>,
(9.4.8)
0-
где Ф1 и Ф2 — образы полей if1 Hifi2 на .
203
Нетрудно убедиться, используя (9.4.2), (9.4.4) - (9.4,6) и (9.4.8), что волновые пакеты Va удовлетворяют условиям нормировки
B(va,va.) = B(va,va.) - 0, B(va,va,) * i8aa, (9.4.9)
и совместно с Va образуют полную систему на Cf' . Здесь и далее мы используем обозначение
5 , s 5..,5 <5.:,5 ,. (9.4.10)
ФСК 11 пп I* mm '- '
// пп Ir гпт
Указанный набор функций (иа, Va) можно выбрать в качестве ин-базиса. Отвечающее этому выбору ин-вакуумное состояние | 0; in > выделяется условием отсутствия потока энергии, падающего с Cf' на черную дыру.
Заменив в выражении (9.4.5) опережающее конформное время Бонди и на запаздывающее и, получим функции на Cf*, которые обозначим Uwlm . Их этих функций с помощью преобразования, аналогичного (9.4.6), построим на Cf* волновые пакеты иа. Образование горизонта событий Н* приводит к тому, что задание образа функции на О * еще не определяет решение волнового уравнения (9.4.1). Дополнительные условия, необходимые для однозначного определения решения, могут быть заданы в виде значений решения на горизонте H *. Определим волновой пакет иа как решение (9.4.1), обращающееся в нуль на горизонте событий и обладающее образом Ua на Cf*, Очевидно, что эти пакеты удовлетворяют условиям нормировки, аналогичным (9.4.9). Если дополнить решения (иа, иа) до полной системы с помощью произвольных функций (ha, ha), образы которых обращаются в нуль на Cl* и образуют полную нормированную систему
