Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Vtt
мм =---------!-------,
I _ та і 1/2
I Va V I
Если Tjм описывается выражением (11.2.9), то такой наблюдатель, находясь вблизи горизонта событий, обращается с угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью черной дыры. Очевидно, движение подобного наблюдателя негеодезично, 4-ускорение ац его движения равно [ср. с (П. 16) ]
Vtt Tia
дм = - -L'aJ-- . (11.2.21)
Обозначим а = |дм I и Ti = | г?*3 | . Тогда, сравнивая (11.2.12) и
I 1/2 „ „ _ і „ „р I 1/2
(11.2.21), получим
Iim (v а), (11.2.22)
где Iim означает переход к пределу, при котором рассматриваемая точка, в которой вычисляется выражение т)а, стремится к горизонту событий.
Для невращающейся черной дыры т? не что иное, как фактор красного
смещения (v = \/ Stt ) • Представим себе, что тело покоится вблизи горизонта событий, удерживаемое невесомой жесткой нитью. Если масса тела пг, то, чтобы оно оставалось в покое, на него со стороны нити должна действовать сила /** 'такая, что / = |/м /м 11/2 = та. Можно показать, что при этом достаточно, чтобы на другой (удаленный) конец нити действовала "сила /0 = ттіа (см. § 2.2). Поэтому величину можно интерпретировать как ускорение тела, покоящегося вблизи черной дыры, измеренное в системе отсчета удаленного наблюдателя. Иными словами, поверхностная гравитация к характеризует предельную ’’напряженность" гравитационного поля на поверхности черной дыры с точки зрения удаленного наолюдателя. Аналогичный смысл имеет к и для вращающейся черной дыры — с той лишь разницей, что рассматриваемое тело вращается со скоростью черный дыры.
При описании физических эффектов в поле заряженных черных дыр наряду с к обычно входит другая инвариантная величина Фя - потенциал электрического поля ца поверхности черной дыры. В гл. 7 отмечалось, что
256
эта величина постоянна на поверхности керр-ньюменовской черной дыры. Покажем, что данный результат имеет общий характер и справедлив для любой статической или аксиально-симметричной стационарной (не обязательно уединенной) черной дыры.
Пусть Iм— векторное поле Киллинга и Fftv- тензор электромагнитного поля, удовлетворяющий уравнениям Максвелла
Fftv., = 4пГ,
(11.2.23)
F1 =0
и подчиненный условию симметрии
LiFfiv = 0. (11.2.24)
Тогда нетрудно убедиться, что вектор Efl = -FfivSv удовлетворяет условию =0 (11-2.25)
и, следовательно, является градиентом некоторой функции Ф:
E11= Ф,м\ (11.2.26)
Покажем, что если Afl — вектор-потенциал поля Ffiv, удовлетворяющий условию симметрии
JliAtt = SaAtt;а - Aa^tt .а = 0, (11.2.27)
то в качестве Ф можно выбрать величину
Ф =-AaSa- (11.2.28)
Действительно, дифференцируя (11.2.28) и используя (11.2.27), имеем Ф, Ц=-Аа,^а -Аа:г ,^=-Aa. ^a +AfliaSa=Efl. (11.2.29)
Для определенности будем считать, что потенциал выбран таким образом, что Afl обращается в нуль на бесконечности. Если выбрать в качестве S м векторное поле Tjtl (11.2.9), то значение Фя соответствующей величины Ф на горизонте событий называется электрическим потенциалом черной дыры. Покажем, что ФИ постоянно на горизонте. С этой целью заметим, что условие
TfivIttIv = 0,
которое, согласно (6.2.2), выполняется на поверхности произвольной стационарной черной дыры (/м = rjм I н ), для электромагнитного поля эквивалентно соотношению
FflaFva - JgfivFaj3Fa^lttIv s FaEa = 0,
т.е. на поверхности горизонта ф = Efl = 4 тт о Ifl,
где величина а в случае керр-ньюменовской черной дыры совпадает с ”по-
17. И.Д. Новиков 257
верхностной плотностью заряда”, введенной в гл. 7 [ср. с формулой
(7.3.1) ]. Отсюда вытекает, что для любого вектора х м , касательного к поверхности горизонта, имеет место равенство
что означает постоянство электрического потенциала Фя на горизонте событий *).
Доказанное выше свойство постоянства величин Slff, к и Фя на горизонте событий стационарной черной дыры оказывается существенным при выводе так называемой массовой формулы. Эта формула устанавливает связь наблюдаемой на бесконечности массы черной дыры с геометрическими характеристиками поверхности ее горизонта событий. А именно, Бардин и др. (1973) показали, что в стационарном аксиально-симметричном асимптотически плоском пространстве-времени наблюдаемая на бесконечности масса черной дыры Af°° может быть записана в следующем виде:
гравитация, А — площадь поверхности черной дыры, a Tv- полный тензор энергии-импульса стационарного аксиально-симметричного распределения вещества и полей вне черной дыры. Интегрирование ведется по пространственноподобной асимптотически плоской поверхности, пересекающей горизонт событий по некоторой двумерной поверхности Э 59. Поверхность выбрана так, что являются касательными к этой поверхности, а на
асимптотической бесконечности S ортогональна .
Доказательство формулы (11.2.30) проводится следующим образом [Бардин и др. (1973) ] - Для произвольного векторного поля Киллинга
(Последнее из этих соотношений может быть получено сверткой (П.15) по а и 0). Выбирая ) в качестве , интегрируя (11.2.32) по поверхности 2 и используя теорему Стокса [см. (П. 33) ], имеем
