Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Как изменится выражение (1) для длины отрезка, если от прямоугольной системы координат К(х, у) мы перейдем к произвольной «косоугольной» (точнее — произвольной аффинной) системе координат К(х, у)? При таком переходе связь между разностями координат Ax и Ay в системе К и разностями координат Ax и Ay в системе К определяется линейными уравнениями
Ал: = a Ajt -j- р Ay, Ау = уАх-\-ЬАу,
где коэффициенты а, р, у и б — постоянные. Подставив эти выражения Ax и Ay в формулу (1), мы получим для квадрата длины As отрезка AB выражение
(As)2 = а (Ал:)2-J-2с Ал: Аг/-J-6 (Дг/)2. (Г)
Здесь постоянные а, b и с имеют значения
а = а2 -J-Y2- b = P2 + б2, с = ар -J- \’6.
Из линий I, лежащих в плоскости F и соединяющих точки А и В, прямолинейный отрезок AB имеет наименьшую длину L. Следовательно, этот отрезок является геодезической линией, проходящей через точки А и В.
Положение вещей изменяется, если F представляет собой кривую поверхность. В этом случае длина L линии I, лежащей на поверхности F, может быть вычислена путем следующего видоизменения приведенного выше способа.
Пусть P есть некоторая точка линии I. Касательная плоскость Fp к поверхности F в точке P вблизи точки касания почти совпадает с поверхностью F. В такой небольшой окрестности точки P дуга I почти прямая. Следовательно, если рассматривать небольшую
212
§ I. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
часть PQ = Al дуги I как прямолинейный отрезок, лежащий в касательной плоскости Fp, то для вычисления длины Al можно использовать формулу (Г). При этом х и у следует рассматривать как координаты в касательной плоскости Fp, отсчитанные в системе координат Kp, произвольным образом расположенной в плоскости Fp. Индекс P при букве К означает, что взятая система координат применяется в окрестности точки Р.
При перемещении точки P вдоль кривой поверхности F изменяет свое положение также касательная плоскость Fp. Отсюда следует, что коэффициенты а, Ь и с, входящие в формулу (I7), используемую для вычисления длины небольших дуг линии в окрестности точки Р, теперь будут не постоянными величинами, как в случае плоскости, а функциями точки Р. Геодезические линии на поверхности F в общем случае будут представлять собой не прямые линии, а кривые. Например, на сфере геодезическими линиями являются дуги больших кругов.
Основываясь на этих соотношениях гауссовой теории поверхностей, Риман построил свою общую (двумерную) дифференциальную геометрию на следующем постулате.
Длина As малого отрезка линии, исходящего из точки P поверхности F, вычисляется по формуле
(As)2= а (Ал;)2 + 2с AxAy -f-b(Ay)2, (2)
где коэффициенты а, Ь и с суть заданные функции точки P в «местной» системе координат Kp(х, у).
Эта так называемая фундаментальная метрическая форма используется для определения длины криволинейной дуги I, лежащей на поверхности F. Для этой цели дугу I разбивают на малые отрезки Al, определяют длину As каждого отрезка As по формуле (2) и затем складывают полученные длины As.
При этом Риман полностью отказался от учета того обстоятельства, что поверхность F «вложена» в трехмерное евклидово пространство. Положение точек P этой поверхности определяется каждый раз при помощи местной системы координат Kp, а вычисление длины As
213
ГЛ. V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
дуги, начинающейся в точке Р, производится посредством фундаментальной метрической формы так, как предписывается формулой (2).
Для изложения даже самых первоначальных основ римановой геометрии требуется применение методов высшей математики. Выше (в этом параграфе, а также в § 11 гл. I) мы вынуждены были ограничиться только некоторыми элементарными и наглядными толкованиями основных идей гауссовой теории поверхностей и римановой геометрии. При этом мы рассматривали только простейший случай двумерного пространства, т. е. поверхности.' Обобщение римановой геометрии на трехмерное пространство и на пространства с еще большим числом измерений производится так же, как это было сделано в § 12 гл. I для евклидова пространства. Положение точки P в таких многомерных пространствах определяется координатами х, у, z местной системы координат К, причем число координат равно числу измерений рассматриваемого пространства F. Квадрат (As)2 длины малого отрезка линии в пространстве F определяется квадратичной формой
(As)2 = a (Ax)2 + b (Ayf -J- с (A2)2 + ...
... -\-2dAx Аг/ +2<? Дл:А,г-(-2/Аг/Аг-J- •••. (2')
где а, Ь, с, d, е, f, ,.. суть функции начальной точки отрезка кривой.
Эта квадратичная форма, называемая римановой фундаментальной метрической формой, определяет метрическую структуру «риманова пространства» F. В частности, эта квадратичная форма позволяет вычислить кривизну пространства F. Евклидова геометрия пространства F получается из римановой геометрии в том частном случае, когда кривизна пространства F равна нулю (ср. § 11 гл. I).
§ 2. Переход от специальной теории относительности
к общей
Согласно Эйнштейну и Минковскому, физику можно понимать как геометрию четырехмерного мира событий. В двумерном мире событий лоренцевы системы К{х, t)
