Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, очевидно, что прямая содержит бесконечно большое число различных точек. Математически мы выражаем это словами: прямая представляет собой континуум, она состоит из бесконечно большого числа непрерывно распределенных точек, заполняющих ее без пропусков.
Подобно тому как точка представляемого пространства является идеальным предельным случаем конкретной точки, т. е. получается из последней путем абстрагирования от ее пространственного протяжения, так и идеальная прямая получается из конкретного отрезка после отвлечения от его «несовершенств». Тогда в качестве существенных признаков прямой остается только ее одномерность н идеальная прямизна.
Однако процесс перехода к идеальным образам состоит не только в абстрагировании, т. е. в исключении из рассмотрения несущественных свойств воспринимаемых объектов. Он сопровождается другой, совершенно противоположной тенденцией: добавлением к воспринимаемым объектам некоторых новых свойств. Мы уже видели, что для прямой такое добавление производится в направлении «микрокосмоса»: отрезок в результате многократного повторного деления понимается как континуум, состоящий из бесконечно большого числа точек. Однако конкретный отрезок прямой, например, линия, ограничивающая потолок аудитории, требует дополнения также в направлении «макрокосмоса». В самом деле, отрезок может быть продолжен за пределы аудитории, правда, практически не очень да-
20
§ 3. ПРЕДСТАВЛЯЕМОЕ ПРОСТРАНСТВО
леко. Ho зато в нашем представлении мы можем продолжить его неограниченно в обе стороны, сохраняя при этом его идеальную прямизну.
Таким образом, переход от видимого пространства к представляемому происходит только частично путем процесса абстрагирования, т. е. исключения (с точки зрения геометрии) не имеющих значения деталей и качеств. В существенном этот переход обусловливается также конструктивным, можно сказать — продуктивным моментом.
При описании происхождения понятий последнему обстоятельству в общем случае не уделяется достаточного внимания. Обычно односторонне подчеркивается абстрагирование, а о дополняющей тенденции, существенной для процесса идеализации, почти ничего не говорится. Между тем именно последний момент придает понятиям и идеям их подлинную «производительную силу» и двигает мышление вперед. Такое положение имеет место не только в геометрии: аналогичным образом происходит возникновение понятий и в других областях, по крайней мере в тех случаях, когда рассматриваются не совсем тривиальные соотношения.
Правда, в простых случаях образование понятий происходит путем почти одного абстрагирования или исключения. Например, общее понятие «стул» возникает из множества отдельных стульев путем отвлечения от тех свойств отдельных стульев, которые несущественны для основной функции стула. Такими свойствами являются, например, цвет стула, его стиль и т. п. Конструктивный момент образования понятия сводится здесь к минимуму — к отождествлению отдельных индивидуумов множества стульев с самостоятельным общим понятием «стула».
Эта конструктивная и идеализирующая тенденция особенно четко развита в теоретических науках, прежде всего — в математике, где она сознательно возведена в ранг руководящего принципа. Ее можно проследить также «вниз», вплоть до той ступени человеческого знания, когда возникли элементарные, «донаучные» повседневные понятия и представления. Особенно хорошим
21
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
примером может служить рассмотренный выше процесс возникновения понятия представляемого пространства из явлений видимого пространства. Здесь этот процесс представляет собой бессознательное и притом скорее психологическое, чем логическое явление. Каждый ребенок очень скоро приспосабливается к понятию представляемого пространства автоматически, как бы по принуждению природы и без какого бы то ни было руководства со стороны. Когда он приходит в школу, геометрические объекты уже знакомы ему и как конкретные предметы, и как мысленно представляемые фигуры. Поэтому если в школе слишком долго и подробно занимаются описанием этих наглядных вещей, то это следует считать большой дидактической ошибкой. Соответствующие понятия представляются школьникам сами собой разумеющимися, и нет ничего скучнее и утомительнее и для детей, и для взрослых, чем выслушивание подробных и педантичных разъяснений, касающихся вещей, которые слушателям заранее известны и понятны. При преподавании геометрии на первый план должны выдвигаться с самого начала совсем другие моменты. Ниже мы вернемся к этому вопросу.
Критика критики
Читатель, критически следивший за нашим изложением, возможно, не совсем согласится с разделением «видимого пространства» и «представляемого пространства». Без сомнения, такое резкое противопоставление схематично. Особенно часто задается вопрос: не обусловлено ли и не подчинено ли понятие видимого пространства уже в какой-то мере сложившемуся понятию представляемого пространства? В известной степени такой вопрос правилен.
Однако здесь мы не можем глубже вникать в этот вопрос. При всяком вводном изложении всегда необходимо идти несколько схематическим путем, так как иначе за частыми оговорками не будут видны главные особенности. При исследовании проблем, связанных с пространством, вполне обосновано различать видимое пространство и представляемое пространство. Особенно
