Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
HO
§ 13. КОНЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
дать более наглядное пояснение, оставаясь при этом Ii рамках обычных трехмерных геометрических построений.
Для того чтобы подготовиться к этому пояснению, вернемся еше раз к упоминавшейся выше кольцевой поверхности, которую можно рассматривать как двумерное пространство. Вообразим, что на этой поверхности живут существа, не обладающие способностью представления о третьем измерении. Эти существа, совершив «кругосветное путешествие» по замкнутым траекториям (меридианам) аир, придут к выводу, что
Рис. 25.
их двумерное пространство «глобально» замкнуто, т. е. их мир неограничен, но конечен.
Топологическую структуру такой кольцевой поверхности мы можем объяснить себе следующим образом. Рассечем поверхность вдоль меридиана а и разогнем кольцо так, чтобы оба края сечения разошлись. Тогда из нашей кольцевой поверхности мы получим цилиндрическую поверхность, показанную на рис. 25.
Теперь меридиан р есть не что иное как образующая боковой поверхности цилиндра. Если мы сделаем еще один разрез, на этот раз — боковой поверхности цилиндра вдоль р, то сумеем развернуть ее в плоскость. Развертка будет иметь вид прямоугольника, ограниченного двумя сторонами а и двумя сторонами fj (рис. 26). Если мы вновь соединим оба края а и оба края р, то прямоугольник примет первоначальную кольцеобразную форму.
Такое сшивание развертки кольцевой поверхности можно представить себе также иначе, а именно в виде следующего мысленного эксперимента.
111
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
Пусть на рис. 27 прямоугольник AfiBaBiAl означает пол комнаты. Я иду по комнате, начиная от точки Po стены A0Ai, до тех пор, пока не достигаю противоположной стены в точке Pi. Предположим, что из точки Pi видна рядом расположенная комната BqC0CiB1, которая во всех отношениях — по величине, по форме, по меблировке — совершенно одинакова с первой комнатой. Такое полное совпадение меня сначала поразит, но затем у меня возникнет мысль: может быть,
D, D1
А, Qi B1 Cl
- Pt Ж {////,:/ P-, Pn
WA //////.
А0 So Cn
Рис. 27.
я пришел не в новую комнату, а вернулся к первой комнате «с другой стороны», «сзади». Следовательно, я сделал полный оборот по замкнутой поверхности, на которой стена B0Bi в действительности совпадает со стеной A0A1. Такое мое представление укрепится, если с аналогичным обстоятельством я встречусь при переходе через комнату в поперечном направлении. Я выхожу из точки Q0 и, достигнув противоположной стены ^1S1 в точке Qi, опять вижу перед собой тождественную комнату AiBiD2Di. Я опять прихожу к выводу, что обошел «вокруг» прямоугольника, и поэтому отождествляю сторону A0B0 со стороной AiBi.
Сделав такое наблюдение, я прихожу к выводу, что «в действительности» живу на кольцевой, не ограничен-
112
§ 13. КОНЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ной, но конечной поверхности пола, имеющей в качестве «меридианов» линии Gt=Zl0A1 = SoB1 и P = A0S0=A1S1.
Такой мысленный эксперимент можно провести аналогичным образом и так же наглядно в трех измерениях. Следовательно, на этот раз мы не будем ограничиваться двумерным полом комнаты, а рассмотрим все три измерения комнаты R0 с восемью вершинами Ait A0, Во, Bi, Ci, Co, Do, Di (рис. 28).
/ /
С, D,
У / / /
/ /В' /
А0 B0
Рис. 28.
Я передвигаюсь по комнате R0 от стены A0AiCiC0 до противоположной стены B0BiDiD0, к которой пусть примыкает вторая комната Ri, полностью совпадающая с первой. Я отождествляю комнаты R1 и R0. Если я повторю этот опыт, но на этот раз пересеку комнату R0 от стены AoB0D0C0 к стене AiBiDiCl, то отождествлю комнату Rz, лежащую за стеной AiS1D1Cb с комнатой R0. Наконец, если я поднимусь из комнаты R0 через ее потолок в расположенную выше комнату R3, во всех отношениях совпадающую с R0, то я отождествлю комнаты R3 и R0.
Это отождествление, «соединяющее» противолежащие стены комнаты R0 попарно одна с другой и соответственно пол с потолком, превращает комнату R0 в «глобально» замкнутое, т. е. неограниченное, но конечное трехмерное пространство.
Время
ГЛАВА II
§ 1. Физические события. Их место и время
Рассмотрим какое-нибудь простое физическое явление, например движение брошенного камня. Прежде всего перед нами возникает геометрическая задача: какой вид имеет траектория камня, т. е. геометрическое место точек, через которые камень проходит при своем движении?
Траекторией будет парабола. Она может быть определена либо эмпирически — посредством прямого наблюдения, либо теоретически. В последнем случае сначала определяется направление и величина начальной скорости, а затем, на основании законов механики и геометрии, выводится уравнение траектории.
Однако движение брошенного камня или его простое падение интересно также в другом отношении. Уже Галилео Галилей (1564—1642), когда он исследовал свойства движений, не ограничивался определением только пространственной картины этого явления. Он поставил перед собой также задачу найти законы, устанавливающие зависимость движения от времени, т. е. законы, позволяющие определить те точки пространства, которые достигаются камнем в последовательные моменты времени.
