Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде всего найдем полиномы наименьших степеней 1 = 0, 1,2,3. При 1 = 0
мы имеем многочлен нулевой степени, которым является коэффициент а0. Но
чтобы
143
Р"(1) = 1, нужно принять а" = 1. Итак,
Р,(х) = 1.
При /=1 получаем многочлен первой степени, он имеет вид агх. Чтобы при
х=1 этот многочлен был равен 1, необходимо принять ах = 1. Следовательно,
Рг(х) = х.
При 1 = 2 у многочлена второй степени а"-\~агхг коэффициент а3 согласно
(16') должен быть равен -За". Поэтому
Р2 (х)=ав-За0х2.
Чтобы при этом Р2(1) = 1, постоянную а0 нужно выбрать равной -72, так что
/М*)=4(3*2-1).
При / = 3 у многочлена третьей степени ajjc + а3х3 коэффициент а.,
выражается через ах по формуле (16') так:
Таким образом,
Р3(х) = а1(х -
В точке х= 1
Рз(1) = _|а1.
Чтобы Р3=1, надо принять а1 = - 3/2. Следовательно,
рз (х)= у (5*3 -Зх).
Вычисление полиномов Лежандра более высоких степеней таким методом
довольно громоздко. Удобнее для этой цели пользоваться так называемой
формулой Родриго:
р|М-2Гл--ая<*,-1>'. (2D
(Рекомендуем читателю с помощью этой формулы вычислить Р[(х) для всех /
от 0 до 5.)
Графики нескольких низших полиномов Лежандра приведены на рисунке 43.
J44
Полиномы Лежандра обладают важным свойством ортогональности, выражающимся
аналитически в том, что интеграл от произведения двух различных полиномов
равен нулю:
\Pi(x)Pi,
-1
(x)dx = О,
если V ф1.
До сих пор мы говорили о решении простого уравнения Лежандра (12),
являющегося частным случаем
обобщенного уравнения Лежандра (11). Оказывается, что конечными решениями
(11) являются так называемые присоединенные полиномы Лежандра Р\т) (х),
определяемые следующей формулой Родриго:
dm
РГ'(*)=(1-*2)2 яяР,(х)
(22)
Обратим внимание, что при т > / имеет место тождество P)m>(x) = 0.
Поэтому каждому значению I соответствует I + 1 присоединенных полиномов
Лежандра
РГ> (X),
где т = 0, 1,2,
I.
В качестве примера найдем все присоединенные полиномы, соответствующие 1
- 2.
Параметр т в этом случае может принимать значения О, 1,2, т. е. возможны
три полинома: Р?" (х) = Ра (х), PJ1" и' Р?2) (х). Найдем каждый из них.
Из предыдущего мы знаем, что Р{°> = Р2 (х) = (Зх2- 1).
Далее, по формуле (22) находим:
Р<" (х) = (1-х2)*'2? Р<2> (*)=(!-X2) d2
dx2
j( з^2-1)
|(3*2-1)
= 3x1/1-х2, = 3(1- х2).
145
§ 4. Сферические и шаровые функции
Вернемся к задаче, сформулированной в § 1. Поскольку уравнение (И)
получилось из (9') заменой независимой переменной c.os0 = ;c, то ясно,
что уравнение (9') имеет конечные решения только в том случае, когда К =
I (/+ 1). Это уравнение принимает при этом форму:
да+?-вж+['('+1)-гйв]1'-0- <9')
Интеграл этого уравнения имеет вид
7(0) = P(;m)(cos0). (23)
Таким образом, чтобы найти функцию U (г, 0, ср) =
= R(r)-V (0)-Ф (ср), осталось еще найти R (г), являющееся решением
"радиального" уравнения (5). Раскроем в этом уравнении скобки и заменим К
произведением /(/ + 1):
r*R" + 2rR' -1(1+1) R=0. (5')
Это-дифференциальное уравнение типа Эйлера. Поэтому будем искать его
решение в виде:
R = rs. (24)
Подставив в (5') R и его производные P' = sri_1 и R" = = s(s-1 )rs~2,
получим:
s (s-1) rs + 2srs-I (/+ 1) г* = 0.
Сокращая на rs и произведя сложение общих членов, приходим к соотношению:
s(s+l) = /(/ + l),
откуда
si = ^> s2 = - + 1) -
Следовательно, общее решение уравнения (5') имеет вид:
Я = С1г1 + С1г-"+1>.
Так как нас интересуют только конечные решения для всех внутренних точек
шара (в том числе и центра, где г = 0), то необходимо положить С2 = 0.
Тогда
R = Clrl. (25)
Следовательно, в соответствии с равенством (7), конечными решениями
уравнения (6) являются сферические функции:
у\ш> (0, ф) = v (0) Ф (ф) = Pf> (cos 0) е± imi*. (26)
146
Ясно, что для каждого I имеется 2/+1 сферических функций, соответствующих
т = 0, 1,
Произведение радиальной функции R = rl на любую сферическую функцию Y\m>
(0, <р) согласно (2) является частным ограниченным решением уравнения
Лапласа:
U\m> (г, 0, ср) = r%(m) (0, ср) = rlP\m) (cos0)-e± {тч>. (27)
Функции Uf1' (г, 0, ср) называют шаровыми. Общее решение уравнения (1)
имеет вид:
со /
и (г, 0, ср) = 2 2 Clm r'P{r (cos 0) (Ae^v + Be-1(tm)р). (28)
1 - 0 т- О
В следующем параграфе рассмотрен пример решения уравнения (1) для
конкретной физической задачи.
§ 5. Стационарное распределение температуры в шаре
Пусть на поверхности шара радиуса а температура поддерживается
постоянной, равной /(0). Найдем установившееся распределение температуры
Т (г, 0, <р) внутри шара.
Задача сводится к решению уравнения Лапласа:
АТ = 0 (29)
при граничном условии Т'|л=а = /(0).
Приступая к его решению, прежде всего учтем, что вследствие независимости
температуры на поверхности от долготного угла ф не может зависеть от этой
координаты и температура внутренних точек шара, т. е. Т - Т (г, 0).
Поэтому уравнение Лапласа (1) упрощается и принимает вид:
те(г'1г)+Д1ЙГвя(!|"еЯ-)"0- <3")
Отсюда следует, что параметр m равен нулю и Т = = 7?(r)V(0), причем V (0)
