КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
небольшом возмущении. Мозер упоминает, что в течение долгого времени было
известно, что линеаризованное уравнение имеет только ограниченные
решения, если /л(1 - /л) < 1/27, где /л = mi/(mi + m2), что показывает
возможность устойчивости. Однако до тех пор, пока не была построена КАМ-
теория, никто не мог ответить на вопрос, могут ли нелинейные эффекты
уничтожить устойчивость. Мозер показал, как усиленная версия теоремы,
опубликованной Арнольдом в [5], позволяет решить задачу. Точнее, он
показал, что можно проверить предположения этой теоремы, хотя проверка
была слишком громоздкой и не была включена в лекции. Фактическая проверка
была выполнена супругами Депри и показала, что устойчивость существует
для малых /л в области значений /л(1 - /л) < 1/27, если исключить три
значения. Он также доказал усиленную версию теоремы Арнольда, показав,
что она следует из теоремы о сохранении инвариантных кривых при малых
возмущениях интегрируемых закручивающих отображений. Здесь
рассматривается случай аналитических функций и ситуация "малого
закручивания".
В последней главе Мозер обсуждает математическую задачу, которая связана
с созданием токомаков (магнитные бутылки, в которых находится горячая
плазма). Для того чтобы возникала плазма, заряженные частицы должны
оставаться в бутылке в течение некоторого времени. Отдельные частицы
движутся по спиралям вокруг силовых линий магнитного поля. В качестве
грубого приближения к задаче удержания заряженных частиц Мозер
рассматривает задачу построения магнитного поля, которое является
касательным к некоторому тору (т. е. тора, состоящего из линий магнитного
поля). Такой тор называется магнитам. стр. 141.
20
Дж. Н. Мезер
ной поверхностью. Линии поля не пересекают магнитную поверхность, поэтому
можно ожидать, что заряженная частица, находящаяся внутри магнитной
бутылки останется там в течение некоторого времени. Однако заряженные
частицы движутся не точно вдоль линий поля и остаются внутри бутылки лишь
в течение ограниченного времени (измеряемого в микросекундах). В любом
случае Мозер дает прекрасное решение математической задачи, построив
магнитную поверхность, которая сохраняется при малых возмущениях
магнитного поля.
Конструкция Мозера связана с устойчивой по Ляпунову неподвижной точкой
отображения, сохраняющего площадь. Мозер доказывает существование
инвариантных кривых вокруг неподвижной точки, применяя свою теорему для
случая "малого закручивания." (И вновь похоже, что теорема Колмогорова
является недостаточной для этого приложения.)
Тот факт, что магнитное поле должно удовлетворять уравнениям Максвелла,
приводит к удивительному свойству этой конструкции. Неподвижная точка
теряет устойчивость по Ляпунову после малого возмущения магнитного поля,
хотя инвариантные кривые сохраняются. Другими словами, после возмущения
по-прежнему существуют инвариантные кривые вокруг неподвижной точки, но
не в произвольно близкой ее окрестности. Кроме того, Мозер показал, что
вся картина движения является устойчивой при малых возмущениях магнитного
поля!
В "Лекциях о гамильтоновых системах" также обсуждаются и другие
интересные результаты. Вместе со статьей "Быстро сходящийся метод
итераций и нелинейные дифференциальные уравнения" они дают читателю
достаточные предварительные знания для изучения теоремы Мозера об
устойчивости. В последней статье обсуждаются методы доказательства с
помощью применения метода Нэша-Мозера ко многим задачам. Также дается
новое доказательство для обобщения теоремы Колмогорова на
дифференцируемый случай. В первой из них обсуждаются неподвижные точки
отображений, сохраняющих площадь. Как уже упоминалось, она содержит два
очень интересных приложения теоремы Мозера для случая "малого
закручивания". Кроме того, в ней дается аналог для отображений,
сохраняющих площадь, решения Гу-ставсона задачи о "третьем интеграле"
Контопулоса. В формулировке Мозера это означает, что каждое С^-
отображение плоскости, сохраняющее площадь и ориентацию и имеющее
неподвижную точку в начале координат, имеет инвариантный, не обращающийся
в ноль фор-
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера
21
применить, поскольку det
мальный степенной ряд. Таким образом, отображение является "формально
интегрируемым в начале координат". Однако, как показал Зигель, в общем
случае такие интегралы не сходятся. Мозер приводит конкретный пример, для
которого ни один такой интеграл не сходится.
В приложениях КАМ-теории к физическим задачам часто возникают задачи,
связанные с "малым закручиванием" или даже "нулевым закручиванием". В
этих случаях исходную теорему Колмогорова нельзя
Н
0 не равен нулю. Обобщение Мозера на
случай "малого закручивания" является лишь началом, и часто возникают
гораздо большие сложности. Например, ньютоновская задача п тел в d-мерном
пространстве. В задаче движения планет ожидается наличие множества
положительной меры квазипериодических почти круговых орбит. Для случая п
