КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
of Invariant Surfaces, Comm. Pure Appl. Math. 18, №4 (1965), 717-732).
[27] K. JI. Зигель, Лекции по небесной механике, М., ИЛ, 1959.
[28] C.Cremer, Uber die Haufigkeit der Nichtzentren, Math. Ann. 115
(1942), 607-612.
[29] В.И. Арнольд, Особенности гладких отображений, УМН 23, вып. 1 (1968)
3-44.
[30] N. Levinson, Transformation of an analytic function of several
variables to a canonical form, Duke Math. Journ. 28 (1961), 345-353.
[31] H. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, М., "Наука", 1965.
[32] А. М. Самойленко, О структуре траекторий на торе, Укр. матем. журнал
16: 6 (1964), 769-782.
[33] Л. Хёрмандер, Линейные дифференциальные операторы с частными
производными, М., "Мир", 1965.
ЛЕКЦИИ О ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ1
Введение
Настоящая работа возникла на основе четырех лекций по теории
гамильтоновых систем, прочитанных автором в университете Джона Пэр-дью
(Лафайет, штат Индиана). Я попытался осветить в них круг проблем,
связанных, с одной стороны, с устойчивостью, а с другой - с
существованием интегралов и квазипериодических решений. Эти проблемы
служили объектом пристального внимания в течение долгого времени, но
прогресс здесь был достигнут только в последние десять лет благодаря
работам А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и других авторов. Проблемы, о
которых идет речь, носят весьма глубокий характер и появляются в теории
гамильтоновых систем в самых различных формах. Мы будем заниматься
преимущественно изучением гамильтоновых систем вблизи положения
равновесия, поскольку в этой ситуации интересующие нас моменты
проявляются наиболее просто и отчетливо.
В качестве исходного примера рассмотрим проблему устойчивости лагранжевых
решений задачи трех тел. Пусть ж*, уи - координаты материальной точки
массы тк (к = 1, 2, 3) на плоскости. Принимая гравитационную постоянную
равной единице, мы можем записать уравнения движения в виде
Как хорошо известно, при любом соотношении масс, мы получим частное
решение задачи трех тел, если поместим эти материальные
1Ю. Мозер, Лекции о гамильтоновых системах. - М.: Мир, 1973.
Ш/г Хк -
dU
дхи
ГПкУк = ~
8U
дук
где
142
Лекции о гамильтоновых системах
точки в вершинах правильного треугольника, равномерно вращающегося вокруг
центра масс с некоторой угловой скоростью а. Значение а при этом
находится из уравнения
а2 г3 = rrii + m2 + m3,
где г - длина стороны правильного треугольника. Это решение было найдено
Лагранжем. Естественно поставить вопрос о его устойчивости, тем более что
реально существуют системы, например Солнце, Юпитер и любая из малых
планет троянской группы, образующие приблизительно такую же конфигурацию.
Эту проблему, разумеется, необходимо тщательно сформулировать, поскольку
ясно, что сколь угодно близко к начальным условиям данного лагранжева
решения найдутся начальные условия другого лагранжева решения с другой
угловой скоростью. Эти два решения удаляются друг от друга на конечное
расстояние, и потому нет устойчивости в обычном смысле. Указанную
трудность можно, конечно, обойти, рассматривая лишь решения с
фиксированной угловой скоростью, но и в такой формулировке проблема не
решена полностью.
Однако ее упрощенный вариант, относящийся к ограниченной задаче трех тел,
удалось решить; далее он будет рассмотрен во всех деталях. Чтобы
сформулировать ограниченную задачу, мы начнем с общей задачи трех тел и
примем, что одна из масс, скажем m3, стремится к нулю. Если в
дифференциальных уравнениях движения перейти к пределу при ш3 ->• 0, то
уравнения, относящиеся к первым двум материальным точкам (планетам), не
будут содержать координат третьей. Движение этих планет будет таким же,
как в задаче двух тел, и мы предположим, что эти материальные точки
движутся по окружностям. Задача заключается в том, чтобы описать движение
третьего тела (планетоида). Дифференциальные уравнения для него
получаются делением соответствующих уравнений общей задачи трех тел на m3
и предельным переходом при m3 ->• 0. Считая единицы измерения выбранными
так, что mi + m2 = 1 и угловая скорость планет равна 1, мы можем записать
уравнения движения для m3 во вращающейся системе координат, в которой
планеты покоятся, в виде
х-2у = Vx, у + 2х = Vy,
Введение
143
где
= х2 + у2 1 ~/х _/х_
2 р2 Pi'
Здесь /х = mi и р*. - расстояние между точкой нулевой массы и точкой
массы nik-
Мы имеем, таким образом, систему дифференциальных уравнений в
четырехмерном фазовом пространстве. Эта система имеет пять хорошо
известных положений равновесия, обычно обозначаемых через L\, L2, ... ,
Lb- Каждая из двух точек L4 и L$ образует с планетами mi и m2 правильный
треугольник. Остальные три точки, кол-линеарные с mi, m2, мы
рассматривать не будем, поскольку соответствующие решения неустойчивы. Но
для L4, L5 уже давно известно, что если /х достаточно мало, а именно /х(1
- /х) < то линеаризованные уравнения имеют только ограниченные решения.
Это указывает на возможность устойчивого равновесия. Остается, однако,
