КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальный оператор отображает друг на друга взаимно однозначно
(биективно). Для дифференциальных уравнений, которые мы будем
рассматривать, такой метод неприменим. Для пояснения рассмотрим простой
пример
Lv = vXl + 2vX2 + v.
Этот оператор отображает пространство Vr в Vr~1 = Gr~1. Но не всякий
элемент g 6 G"--1 является образом элемента v 6 Vr. Если, например, go 6
G"--1 зависит только от 2х\ - Х2, то, положив v = go, получим Lv = v и,
следовательно, из g0 € Gr~1 следует, что1 v0 € Gr~1 = Vr~1.
1go 6 G''-1 \ Gr, являясь образом функции vo = go 6 Vr~1 \ Vr, не
является об-разом никакой функции из Vr, так как однородное уравнение
имеет на торе только нулевое решение. - Прим. перев.
dv,.
дх"
< 1.
(2.7)
Глава 1
69
В этом частном случае вопрос о разрешимости уравнения Lv = g решается,
конечно, весьма просто, так как это уравнение имеет постоянные
коэффициенты.
Для изучения подобных уравнений более общего вида мы введем понятие
приближенного решения. Именно, мы скажем, что уравнение Lv = g имеет
приближенное решение, если для каждого Q > 1 существует функция Wq € Vr
такая, что
\\LwQ~s\\0^Kri(Q), ||wQ||r ^ tfQ, (3.1)
если ||g-||0 ^ 1, ||g-||r ^ К, a r](Q) 0 при Q -i оо. Обычно мы
будем
требовать еще выполнения неравенства
V(Q) < CQ(3.1')
при некотором ц > 0 и называть р порядком аппроксимации.
Пусть, например, L - тождественное вложение пространства Vr в
пространство Vs, где 0 < s < г. Тогда задача приближенного решения
уравнения Lv = g сводится к лемме 1 и мы можем выбрать ц = ^.
Ь) Предложение. Если оператор L допускает оценку
IHIo ^ ll^llo ^ С1М1"
при всех " ? И, то из существования приближенного решения уравнения Lv =
g, где g € Gs с порядком аппроксимации р > (r) , следует
существование точного решения этого уравнения.
Доказательство этого предложения аналогично доказательству леммы 2 из §
1.
Доказательство.
Выберем Q = Qn = 2~п и обозначим приближенные решения wQn = Wfl' в СИЛУ
(3-1) имеем
\\wn ^n+illo ^ 1№" ^n-(-i)|| ^ 2cKQnp и ||шп шп_)_1||г ^ 3KQn.
Следовательно, \\wn - wn+1\\p ^ c'KQ~q, где q = р (l - ^ - ?.
Если q > 0, то из этого неравенства следует, что последовательность wn
сходится в пространстве Vp к элементу v 6 Vp. Положив р = а так, что q =
рг а - у > 0, видим, что Lwn сходится к Lw в Gs. Следовательно, Lv = g и
v является искомым точным решением. ¦
70
Быстро сходящийся метод итераций
Это предложение показывает, что при известных предположениях требование
существования приближенных решений оказывается даже более сильным, чем
наличие точного решения.
с) Мы покажем теперь, как можно построить приближенные решения в
случае, когда L - оператор, обладающий некоторыми свойствами, сходными со
свойствами положительно определенных симметричных операторов.
Предположим, что Vr - пространство Соболева из § 1, в котором определено
скалярное произведение (v, w)p. То же самое предположим относительно
пространства Gs.
Пусть L - линейный оператор, отображающий VT в Gs и переводящий функции
класса С°° в функции класса С°°. Пусть, кроме того, при s = г - 1 для
всех v ? Vr выполнены неравенства
IHIo ^ (Lv, v)0, |H|g ^ с ((Lv, v)s +К\ |Н|о) . (3.2)
Здесь К\ - число, большее 1 и зависящее от оператора L. Пусть, кроме
того,
II-HI* ^ с|М|г. (3.3)
Для построения приближенных решений уравнения Lv-g = 0 можно применять
различные методы. Здесь мы сведем эту задачу к решению эллиптического
уравнения, добавив к L член, обеспечивающий "искусственную вязкость".
Этот прием хорошо известен в численном анализе (П. Д. Лаке), а Л.
Ниренберг [21] использовал его и в других ситуациях. Нужно отметить,
однако, что для конкретных уравнений обычно удается свести задачу
нахождения приближенных решений к конечномерной задаче, и поэтому
излагаемый ниже метод сложнее, чем это бывает необходимо для конкретных
уравнений.
Основная идея метода состоит в следующем: чтобы получить приближенное
решение уравнения
Lv = g (3.4)
с максимально возможной гладкостью, будем точно решать измененное
уравнение
Lhw= (h2a(-A)a+L)w=g, (3.5)
где h - малый параметр 0 < h < 1 и
(3.6)
Глава 1 71
Уравнение (3.5) эллиптическое, и дальше будет показано, что оператор Lh
удовлетворяет почти таким же неравенствам, как и оператор L.
Существование и единственность решения для этого эллиптического уравнения
устанавливается стандартным способом с помощью метода проекций или
используя соображения Лакса-Мильграма, или каким-либо другим известным
методом. Если функция g и коэффициенты уравнения L принадлежат классу
С°°, то решение уравнения (3.5) также принадлежит классу С°°. Можно
ожидать, что при h -> О решения уравнения (3.5) сходятся к точному
решению уравнения Lv = g. Однако мы не будем полагать h = 0, а будем
считать параметр h не слишком малым, что позволит нам получить оценки для
старших производных. Покажем теперь, как с помощью решений уравнения
(3.5) получить приближенные решения уравнения Lw = g с порядком
аппроксимации
