Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
(Jr~fiz)gln = 0 (r2 = R), (8.142)
где /(2 имеет то же определение, что и данное в гл. II, § 7 (или в гл.
III, § 5, при наличии кулонова поля).
Волновая функция 7тс, характеризующая стационарное состояние комплекса,
определена теперь таким образом, что функции Gn и Fn в разложениях
(8.138) и (8.139) удовлетворяют условию (8.142). Поскольку в рассмотрение
включена функция Fn, описывающая состояние падающей частицы, система тем
самым становится замкнутой, точно так же, как и в задаче об одной
частице, рассмотренной в гл. II, § 7. Каждому значению функции утс
отвечает комплексное значение энергии
WT = ET-\il\. (8.143)
Точно таким же путем, как и в случае задачи об одной частице, волновая
функция Ч5*, описывающая столкновение, может быть разложена в ряд по,
функциям у?. Это приводит к следующим формулам для сечений Qld и :
(ЕГ-Е-~1Г,)Я,
2%Щ . 2il); ^ w\cw\c
(8.144)
§ 8. МЕТОД КОМПЛЕКСА СТАЛКИВАЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ 205
Здесь
r,=2KJ!.
Р
(8.146)
a yjc отличается от утс тем, что при разложении /?* в ряд вместо условия
(8.142) должно удовлетворяться условие
(?-'я,)й=° ('¦-=¦")•
(8.147)
Величины wр приобретают при этом вполне точный смысл. Действительно,
I <с12 = - (/Гр - /?) | ir (Я) |2 ^ , (8.148)
а | wrp |2 отличается от | wpc |2 только тем, что glr (R) заменено на
glr{R)- Можно показать, что \glr\2=\gr\2, откуда следует, что wTv
отличается от wp только фазовым множителем.
Если R задано, то фаза ql, определяющая сечение упругого рассеяния, может
быть найдена вполне однозначным образом. Она представляет собой фазовый
сдвиг, возникающий при рассеянии полем, потенциал которого при rp > R
равен Up, а при rp - R может быть апроксимирован барьером бесконечной
высоты.
Сопоставляя формулы (8.144) и (8.145), представляющие собой естественное
обобщение формулы (2.64) для одной частицы, с формулами (8.136) и
(8.137), полученными Бете и Плячеком, мы убеждаемся в том, что они весьма
сходны друг с другом. Основное различие между ними сводится к появлению
множителей Nr и замене wp*с на wpс. Капур и Пайерлс [12] показали, что в
том случае, когда расстояние между уровнями Ег превышает их ширину Гг,
эти различия становятся несущественными. Метод Капура и Пайерлса обладает
тем преимуществом, что, помимо строгого обоснования формул (8.136) и
(8.137) при этих условиях, он дает соотношения, позволяющие определить
матричные элементы wpc и потенциальное рассеяние, если радиус комплекса R
задан..
Следует, однако, напомнить, что, так же как и в случае задачи об одной
частице, выбор величины R остается при этом не вполне определенным.
Возвращаясь к выражению (8.137) для сечения упругого рассеяния, мы можем
рассматривать его как слагающееся из трех членов, обусловленных
соответственно ближайшим резонансным уровнем, совокупностью всех
остальных более удаленных уровней и потенциальным рассеянием. Относи-
206 ГЛ. VIII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИИ
тельная роль последних двух членов может быть при этом изменена путем
выбора того или иного значения R. Лучше всего было бы выбрать R так,
чтобы роль далеких резонансных уровней стала минимальной. Поскольку,
однако, теория еще не находится в таком состоянии, чтобы ею можно было
пользоваться для < определения величины сечений в отдельных частных
случаях,
* вопрос о вычислении выражения (8.137) практически еще не возникал.
Интересно отметить, что Б рейту [14] удалось построить схематическую
модель дисперсионных явлений, допускающую точное алгебраическое решение
задачи. Понятие составной системы (комплекса) при этом возникает вполне
однозначным образом,, не требуя введения в рассмотрение величины R.
Зависимость парциальной ширины уровней от скорости. Отменим, что как в
теории Бете и Плячека, так и в теории Капура и Пайерлса энергетические
уровни комплекса зависят от энергии падающей частицы. Если ширина уровней
мала по сравнению с расстояниями между ними, то зависимостью вещественной
части ширины уровня от энергии падающей частицы можно пренебречь.
Значения парциальной ширины уровней Гр, определяющие мнимую часть гТг, в
общем случае зависят, однако, весьма
существенным образом от скорости испускания рассматриваемой частицы.
Согласно формуле Капура и Пайерлса [12], имеем
Г? = Кср, (8.149)
где | Wpc | определяется выражением (8.148). Ограничиваясь сперва
рассмотрением таких случаев, когда вне системы поле, действующее на
частицу, равно нулю, для частиц с нулевым моментом количества движения
имеем
/:-/;• = шр. (8.150)
При этих условиях Гр прямо пропорционально скорости испускаемой частицы.
Если квантовое число, отвечающее моменту количества движения частиц,
равно I и kpR < /, то
Я-/Г~^!+,й2! (8.151)
и Гр пропорционально скорости частицы в степени (2/+1).
Эти результаты вытекают также и из соображений, развитых в п. 1. Величины
utc и и^с определяются в основном перекрытием функций /, и g, с областью,
занимаемой комплексом. При малых kR значения этих функций в области
комплекса будут изменяться пропорционально (kR)1 (см. гл. II, § 3),
