Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ф равно некоторой заданной функции / (г); мы имеем в таком случае
те/2
/(/•)= 2тс ^ Л(а)/0 ^^sin da. (1-8)
о
Л (а) может быть определено с помощью этого интегрального уравнения.
Простейшая возможная форма функции / (г) имеет вид
f{r) = Be-r*!a\ (1.9)
В действительности функция f(r) должна была бы носить более сложный
характер, оставаясь постоянной внутри отверстия (при г < а) и спадая
некоторым неправильным образом до нуля на его границах. Мы выберем,
однако, функцию /(/•) в простейшей форме (1.9), так как в этом случае
оказывается возможным точное решение уравнения (1.8). Положим
А (а) = Се~~ <sln(r)/a)2 sin а cos а,
где
а = - , Стса2 = В. па
Уравнение (1.8) будет при этом удовлетворяться х), если мы заменим
верхний предел интегрирования на со , что возможно, поскольку " " 1.
Остается теперь проинтегрировать выражение (1.7). Так как численное
значение интеграла (1.7) определяется в основном малыми значениями а,
можно заменить его интегралом вида
ф = 2-.тС ^ е-(r)2/"2 exp J /о a da,
о
равным
г, f 1 . wtrcos0'\ - 1 Г те2г2 . ,"/1 . i4> cos 0\-^ "I /З'чгЧ
exP [ " sin2o(^- Hr - J Jexp^-j^.
(1.10)
*) Мы воспользуемся формулой ^ J0 (at) e-<2^°2 tdt = ~ o2e 4
0
(см. книгу Ватсона [2]).
§ 5. ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
19
Это выражение и представляет собой искомую волновую функцию. Число частиц
в единице объема равно | ф |2; при больших г оно стремится к
/СХ\2 С 2 sin20 \
Ст) ехК 5Г-)-
т. е. становится равным
..{о /*Ваг\Ъ f 2rc2a2sin20\ ,, . . ч
w ехрС-*-) (1Л1)
/
Тем самым показано, что имеет место диффракция пучка.
§ 5. Одномерные задачи
Предположим, что пучок электронов, аналогичный рассмотренному выше,
движется вдоль оси z и попадает в поле, меняющееся только в направлении
этой оси, так что потенциальная энергия электрона V зависит только от z.
Задача заключается в исследовании движения пучка в таком поле.
При решении задач такого рода зависимость ф от х и у не является
существенной; для удобства вычислений предположим, что падающий пучок
обладает бесконечной шириной, так что он может быть описан с помощью
бесконечной плоской волны. Полная волновая функция ф будет в таком случае
зависеть только от z и будет удовлетворять волновому уравнению
S<1Л2>
здесь W - значение кинетической энергии отдельного электрона в той точке,
где V - 0.
В качестве примера г) рассмотрим пучок электронов, падающий на некоторый
потенциальный барьер, т. е. попадающий в поле, для которого
F = 0 (z < 0),
V - U (z > 0).
Предположим, что U <W. Волну, падающую на потенциальный барьер, мы будем
описывать функцией вида
*4eiiz (z < 0),
1'Де
, 2я mv 2п >/ 2 mW ~~h h '
Э Вопрос о прохождении электронов через потенциальные барьеры рассмотрен
в различных учебниках [3]. Приложение этой теории к электронной эмиссии
металлов рассмотрено Нордгеймом [4]. [По этим вопросам см. также [5,6].
(Прим. ред.)]
20
ГЛ. I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Эта функция характеризует пучок электронов, движущихся со скоростью v, в
котором за единицу времени через единицу площади поперечного сечения
проходит AA*v электронов. Отраженный пучок может быть задан функцией
Be~lkz (z < 0),
а прошедший пучок - функцией
CeiVz (z > 0),
где
и 2-^mv' 2n\f 2m(W - U)
h " h " '
Полная волновая функция имеет, таким образом, следующий вид: <j> = Aeiiz
-f Be~itz (z < 0),
<!> = CeiVz (z > 0).
Граничные условия, которым волновая функция должна удовлетворять при z =.
0, заключаются в непрерывности самой функции
^ и ее производной Мы имеем в связи с этим
А 4- В - С, к(А - В) = Ск'.
Решая эти уравнения, получаем
¦я_А(к-к') к+к' '
с 2 Ак
к + к' '
В отраженном пучке число частиц, проходящих за единицу времени через
единицу площади поперечного сечения, равно, таким образом,
АА*х> (к-к')2 (к^-к'у
а соответствующее число частиц в прошедшем пучке равно
AA*v' (2kf .. {k + k'f
Принимая во внимание, что к/к' = "/"', мы видим, что доля отраженных
частиц равна
(t) -В/)2,1
(v + ti')3 1
§ 6. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА 21
а доля прошедших частиц определяется выражением
Arm'
(р + а')2
Сумма этих двух величин равна единице в соответствии с законом сохранения
общего числа электронов. Этот закон представляет собой частный случай
более общей закономерности, доказываемой ниже (§ 7).
§ 6. Решение волнового уравнения для электрона, движущегося в медленно
меняющемся поле х)
Если потенциальная энергия V (z) не меняется заметным образом на
расстоянии порядка длины волны А/^2т (И^ -Е), то приближенное решение
волнового уравнения может быть получено следующим образом. Запишем
и будем предполагать, что в рассматриваемом интервале значений z функция
/ (z) положительна. Уравнение Шредингера приобретает при этом следующий
вид:
(1ЛЗ)
Полагая
Ь = Ае^ (1.14)
и подставляя эту функцию в уравнение (1.13), получаем
А" + 2iA'p + фМ - Р,24 +/А =0, (1.15)
где штрихи означают дифференцирование по z. Положим, далее,
P = /(z).
В таком случае
?
Р= y1(z)]l!*dz.
Если рассматриваемая область значений z велика по сравнению с длиной
