Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
W ~ g (02) гг У*Ггф (/-!, 7-3) (г2 велико),
Ч3, ~ g (",) г3 УЛгзф (г2, гг) (г3 велико).
12*
180
ГЛ. VIII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
На основании соображений, весьма сходных с теми, которые были приведены
выше для случая водорода, находим, что полное число электронов,
рассеянных внутри телесного угла с?ш, равно
]/-g|2rfu>. (8.47)
§ 5. Приближенные методы рассмотрения медленных столкновений. Метод
искаженных волн
Первое приближение Борна оказывается справедливым лишь в том случае,
когда энергия относительного движения сталкивающихся систем велика по
сравнению с энергиями внутреннего движения этих систем. Это условие
сплошь и рядом не выполняется; необходимо поэтому развить методы,
пригодные также и в этих случаях. Мы исследуем четыре таких метода: 1)
метод искаженных волн, 2) метод сильно связанных уравнений, 3) метод'
возмущенных стационарных состояний и 4) метод комплекса сталкивающихся
частиц. В настоящем параграфе мы рассмотрим первый из этих методов.
Обобщая формулу (8.16), мы видим, что функции Fn (г) удовлетворяют
уравнениям
(V2 + к2п) Fn (г) = J J F (г, га, ть) dxa d4 (п = 0, 1, 2, . ..).,
(8.48)
Записывая
<Г= 2 Fm(r)qm{ra, rt)
m
И
Vnm (г) = ^ V (г, га, гь) dxb, (8.49)
имеем
(Г- + к2п) Fn (г) = ^ 2 (8'5°)
m
Положив в правой части уравнения (8.50)
F0 = exp(ik0a0 ¦ г), ^",=0 (т Ф 0),
получим приближение Борна. Предположим теперь, что недиагональные
матричные элементы Vnm столь малы, что в правой части уравнения можно
пренебречь всеми членами, за исключением членов VnnFп и VonFa, связанных
с падающей волной. Мы получим при этом систему уравнений:
(j2H-?02 - ^F00)F0(r) = 0, (8.51а)
(v2 + ^-^K"n)Fn(r) = §^F0"(r)Fo(r) (пФ 0). (8.516)
§ 5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ. МЕТОД ИСКАЖЕННЫХ ВОЛН 181
В том случае, когда F00 (г) и Vnn (г) обладают сферической симметрией,
можно найти формальное решение этих уравнений, удовлетворяющее граничным
условиям (8.19) и (8.20), воспользовавшись для этого методами,
изложенными в гл. II и VI. В гл. II [уравнение (2.16)] нами было получено
решение уравнения (8.51а), удовлетворяющее граничному условию (8.19), т.
е. имеющее асимптотическую форму
ett"'+/(e)i-~VV, (8.52)
Обозначим это решение через F0(г).
Подставив F0 (г) в правую часть уравнения (8.516), мы получим
неоднородное уравнение для Fn(r), имеющее вид
[V2 + kl-Ц^-Упп (г)] Fn = sn (г, 6, cp). (8.53)
Задача о нахождении решений этого уравнения в асимптотической форме
(8.20) была исследована нами в гл. V, § 3. Если мы обозначим через
gn (г, б) решение однородного уравнения
[v2+^-~F""(/-)]g = 0, (8.54)
имеющее асимптотическую форму
gn(r, 0)~е1*п*4-г~1е^пГ х Функция от 0,
то асимптотическая форма искомого решения уравнения (8.516) будет иметь
вид
Fn(r) -J F0"(r')Fo(r\ O')Sh(Л *-#)*', (8.55)
где
cos 0 = cos 0 cos 0' -f sin 0 sin 0' cos (<p - cp'), (8.56)
a 0 -угол рассеяния. Из (8.20) и (8.21) следует, что дифференциальное
сечение, соответствующее возбуждению n-го состояния, определяется Теперь
(в относительных координатах) выражением вида
/п(8) =
^ V(r,Ta,vb)<b0^nF0(r',b')%n(r',^-e)d-zad4dz |г.
(8.57)
При замене функций F0 и g" плоскими волнами эта формула сводится к
формуле Борна (8.31). Мы видим, таким образом, что этот метод учитывает
искажение падающей и расходящейся волн рассеивающим полем. Функция F0 (г,
0) характеризует движение электрона в поле V00(r), соответствующем
исходному состоянию, а функция g"(r', тс -0) описывает его движение в
поле Vnn (г), отвечающем возбужденному состоянию.
182
Гл . VIII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
Формула (8.57) используется в гл. XI, § 5, при рассмотрении вопроса о
рассеянии электронов атомами и в гл. XII, § 3, при исследовании вопроса о
возбуждении вращательного и колебательного состояний при молекулярных
столкновениях.
Аналогичная формула может быть получена также и в случае столкновений,
сопровождающихся перераспределением частиц. При этом в формуле (8.45)
плоские волны elbl°'r и е-1^"'р следует заменить функциями F0(r, 0) и
@s(p, к -О), где F0 и @s - собственные решения уравнений
(v44s~n") *¦" = <>,
(v'2+*;2-^4s)(c)s=o,
обладающие соответственно асимптотическими формами плоской и рассеянной
волн, F00 и Uss определяются выражением вида
F°° = ^ V (г, г", ть) | 6012 dxa d4,
Uss = ^ V (rc, rd, p)!^!2^^.
§ 6. Приближенные методы рассмотрения медленных столкновений. Случай
сильной связи
1. Случай точного резонанса. Применимость предыдущего приближенного
метода зависит от малости недиагональных матричных элементов энергии
взаимодействия. При рассмотрении возбуждения п-го стационарного состояния
в результате столкновения необходимо, таким образом, учесть лишь
взаимодействие двух волн - падающей и упруго рассеиваемой волны с волной,
рассеянной после возбуждения п-то состояния. Влияние неупругого рассеяния
на упругое может при этом не приниматься во внимание. Мы можем поэтому
рассматривать этот метод как метод последовательных приближений к решению
