Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующих притяжению, может, однако, приобретать относительно
большую величину в результате резонансного эффекта. В таком случае при
вычислении фаз уже нельзя пренебречь рассмотрением этих областей.
Излагаемый метод может быть применен также и к таким случаям, если мы
рассмотрим соотношения, связывающие приближенные значения функций,
отвечающие корням уравнения
п, г8
3. Вариационный метод. Гультён [9] разработал недавно метод
приближенного вычисления фаз, аналогичный вариационному методу
приближенного определения собственных значений энергии.
ние, положив в уравнении (7.17) т=1пр и Ьт 1/2 = G. Это дает для G урав-.
нение той же формы (7.17), нор заменяет при этом г, а п(п+ 1)/г2 заменено
на Поскольку ?->•-оопри г -*¦ 0, G является решением этого
уравнения, убывающим экспоненциально по мере уменьшения р от
соответствующего значения р", как это и требуется. Для ¦/]" это дает тот
же результат, что и (7.30), однако п (п + 1) оказывается замененным на
ЫУ-
1) См., однако, [8].
§ 6. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ РАССЕЯНИЯ
161
Рассмотрим интеграл
ОО
/ = ^ GDG dr, (7.31)
о
где
n^% + W-U{r)-n-^.
Если rU(r)->0 при г-" оо и G является собственной функцией,
удовлетворяющей обычным граничным условиям
G(0)=0, G~sin(fc- _^ + rJn), (7.32)
то интеграл I имеет конечное значение. Далее, если G есть точное решение
уравнения /
"^±1)]с=о, (7.зз)
удовлетворяющее условию (7.32), то I обращается в нуль.
Предположим теперь, что вместо точного решения мы подставили в (7.31)
функцию G +• uG, которая лишь очень незначительно отличается от G и
является собственной функцией, удовлетворяющей граничным условиям (7.32),
но заменено теперь суммой т]п-(-8/]п. Мы имеем в таком случае
8G = 0, г = О,
8G ~ cos ^кг - у тми + 8т)п.
Такая подстановка дает
со оо
8/ == ^ 8 GDG dr-f \GD (с G) dr.
о о
Второй член этого выражения путем интегрирования по частям может быть
преобразован к виду
] G?AK)drJbG(tm)ir+[G±( щ-ю?\~ =
о о
О
Мы имеем в результате
оо
8/ = 2 ^ 8GDG dr - Щп = - Щп,
О
поскольку функция G удовлетворяет уравнению (7.?3).
Н, Мотт и Г. Месси *
162
ГЛ. Vll. РАССЕЯНИЕ СЙЛОЙМм ЦЕНТРОМ
Отсюда следует, что если G меняется таким образом, что 1=0 при любом
значении оG, то Ы = 0 и, следовательно, S7in = 0- В отличие от случая
дискретных уровней соответствующее значение т1П не является, однако, ни
максимальным, ни минимальным.
Используем теперь условие стационарности для определения приближенного
значения С фазы т" и приближенного значения F(r) функции G. Введем в
рассмотрение такую функцию F(r; съ с2, ... , cs), которая является
собственной функцией для всей области значений г, удовлетворяет
граничному условию (7.32) при г = 0 и содержит s неопределенных
параметров съ с2, . .., cs, помимо фазового параметра С. Эту функцию
подставим в интеграл I вместо функции G, а значения s + \ параметра
определим из уравнений
^ ^1" • • • > ^s) " Э,
Ц--0, v = l, ... ,s.
Для того чтобы убедиться в точности рассматриваемого приближения, можно
воспользоваться тем фактом, что если G есть точное решение уравнения
(7.33), удовлетворяющее условию (7.32), то
СО
sin r;n = - (у *0 2 ^ ^ +-1 №Г^ ^ (r) ^ (r) ^г
о 2
есть результат, полученный нами в гл. VI, § 2. Если функция F дает
хорошее приближение, то выражение
СО
- (тс0йес ^ ^ 7-1/2 J 41 г) & (r) F (r) dr
о " 2
должно приближенно равняться единице.
Этот метод был использован Гультеном [9] для вычисления i}n в случае
потенциала V (г) вида Ar~ie~bT; были получены весьма удовлетворительные
результаты.
4. Численное решение дифференциального уравнения для функции G.
Приближенные методы рйпения задачи удобны в тех случаях, когда нужно
определить большое число фаз, а "требуемая степень точности при этом не
слишком высока. Для более точных расчетов наиболее пригодным является
вариационный метод, изложенный выше, особенно в том случае, когда нас
интересует также и приближенное аналитическое определение волновых
функций1). Во многих случаях лучше, однако, найти непо-
0 Относительно других методов см. [10].
§ 6. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ РАССЕЯНИЯ 163
средственно численное решение уравнении для рассматриваемых частных
значений пик. При этом весьма удобным оказывается излагаемый ниже метод,
сходный с методом, использованным Хартри для решения аналогичных
уравнений, получаемых в его методе самосогласованного поля.
Нас интересует решение уравнения
ах I j (7 34^
для такого ряда равноотстоящих значений х0, хх, х2, ... переменной х,
отделенных друг от друга некоторым постоянным интервалом h, который
удовлетворяет заданным условиям в точке хй. Положим
F = 4lh*g(x)y, (7.35)
где I - некоторая постоянная. Воспользовавшись соответствующими
значениями у и F, мы можем составить таблицы конечных разностей, как это
показано ниже в обозначениях Шеппарда:
*0 F0 8F1/3 Syi/2 Уо
*1 Fi 52F1 SFs/a 82yi 8уз/2 У1
Х3 f2 52F2 ZFbj3 S22/2 Уа
х3 F3 Уз
В качестве предварительной стадии интегрирования следует найти разложение
