Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
большого числа налагающихся друг на друга полей, характеризующихся
различными частотами, близкими к vs0. Вероятность перехода мы найдем,
проинтегрировав | as |2 по всем значениям v вплоть до критического
значения vso- Положим в (14.22) X2 = dv. Второй член выражения (14.24) не
является, очевидно, существенным (при условии, -что Ws > W0), и
вероятность перехода приближенно равна
При больших значениях t этот интеграл определяется в основном значениями
v, близкими к vs0. Он равен1)
Таким способом может быть вычислен коэффициент поглощения В, фигурирующий
в теории Эйнштейна (дальнейшие подробности
Если конечное состояние принадлежит к непрерывному энергетическому
спектру, то можно воспользоваться методом, изложенным в § 2. Предположим,
что возмущение действует в течение конечного промежутка времени Т, причем
vT > 1, но РТ < 1. Из (14.23) следует, что \aw{T)\2dW определяет в таком
случае
2 {1 -cos [2я (Wk-Wn-h<) tjh]} i у р d f
см. [8]).
ОО
1) Мы воспользовались при вычислении формулой \ dx = л.
-ОО
§ 3. ПЕРЕХОДЫ, ВЫЗВАННЫЕ ПЕРИОДИЧ. ВО ВРЕМЕНИ В03МУЩ. 419
вероятность испускания электрона с энергией в интервале между W и W-\-dW.
При W - W<s + h') эта функция имеет резкий максимум. Общее число
электронов, испускаемых со всевозможными энергиями, равно
С-I /Щ\2ДИ/ С 2 {1-cos[2*(W-ТР0-Ь)Г/й][ . • . 00.
^ | awiTfdW = ^ -! lw_Wa_iy и ^\Uw^dW. (14.28)
При чТ -"оо этот интеграл практически определяется значениями W, близкими
к WQJrh4, так что (14.28) может быть заменено выражением1)
¦U*T\AUm\
, W--=W0 + h4, (14.29а)
которое и определяет искомую вероятность испускания электрона за время Т.
Аналогично число электронов, испускаемых за единицу времени внутри
телесного угла dm, равно [см. (14.18) и (14*.20)]
w \ Ъ{г',ъ - в)лг/(г')ф0(г')"/т'|2do>. (14.296)
Бете [5] показал, как следует интерпретировать волновую функцию (14.23),
не делая предположения о том, что возмущение действует только в течение
промежутка времени 0 < г < j. Если точка г расположена вне атома, то
функция ф5 обращается в нуль, а функция фи/ может быть заменена ее
асимптотическим значением
r~i sin ^ hr - у дог -f 7]п^ S"( 6, ?)•
Воспользовавшись этим выражением для фи/, покажем, что если vt > 1, то
волновая функция (14.23) при г < vt соответствует расходящейся волне с
конечной амплитудой, а при г > vt - волне с амплитудой, равной нулю.
Для точек г, расположенных вне атома, с помощью (14.23) и (14.24)
получаем
_ , <• а__2ти (Щ- По-hv) t/h
W (г, 0-2^ Мe-2-(^+bv) t!^iUWnu,o ------X
n,u
X (*r)_1 iV(lE)sm ^ kr - ~n;t + t)" ^ dW. (14.30)
Положим
2*.(W-Wy)t_r h
так что
*=-5^-*.+1+4*)-
1) Гиперболическая волновая функция, используемая при вычислении Uwo,
нормирована так же, как и в формуле (14.12).
27*
420 ГЛ. XIV. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ
Здесь Ww написано вместо H^0 + Av, a Av = 2ji(2iwWrv)1/* Д. Если '"t
велико, то подинтегральная функция в формуле (14.30) имеет резкий
максимум при W = Wv и (14.30) может быть заменено выражением
W - ^ N {WJ S" к Uw^u, о X
n,tt
е\ "-"sinf кт-\ О
4---------------------Л. (14.31)
Интеграл, стоящий в правой части этого выражения, равен
'кг П7С^ "г
(2ikr)~i е r~lT,n J [екпы_ек (r/t"-i)] ;-i
• .. rvrci
- г*г+- гт)пл
- (Якг)~'е 2 \ [e-"r/*-e"<-',/*'-'>]C-id;. (14.32)
Если .4 и В - вещественные числа, то
^ (еги: _ eiBi)" = ^ 5"Ld? _ .
-оо
Очевидно, что этот интеграл равен нулю, если знаки А и В одинаковы, и
равен 2ш, если знаки А и В противоположны. Второй интеграл в выражении
(14.32), характеризующий падающую волну, обращается, следовательно, в
нуль, тогда как первый интеграл при г > Ы равен нулю, а при т < Ы равен
2ст. Функция (14.31) приобретает в результате следующий вид:
'Г ~ (2Ат-)-1 егкг~2п1т1п2к N (W) 2 ех ^Щп - уШ ^ X
гг, u
х^(е,ср)>.?/ Wnu.O (Г < Vt),
{r>ot).
Отсюда легко могут быть получены формулы (14.29а) и (14.296),
определяющие количество испускаемых электронов.
Ионизация атома водорода световой волной. Если скалярный и векторный
потенциалы световой волны соответственно имеют вид:
Ф = ср (х, у, z) e~27tiv<-)- Комплекс, сопряж.,
А = а(ж, у, z) e~2(tm)yt -f- Комплекс, сопряж.,
то оператор возмущения имеет вид
F (г, t) - U (г) е-2'"-'1* + Комплекс, сопряж.,
§ 4. ПЕРЕХОДЫ, ВЫЗВАННЫЕ ВОЗМУЩ., НЕ ЗАВИСЯЩ. ОТ ВРЕМЕНИ 421
где
?/(r)=_e.f + (_g_)a.g rad (согласно теории Шредингера)^
U(г)= - еэ- e,jj (9 • а) (согласно теории Дирака).
Для волны, плоско поляризованной в направлении оси z, можно положить
ср = 0, ax = aeiQZ, av~az = 0.
Отсюда
Ц . - еЫ С A*ei Us0~ 2nimc ) fe61-
Если длина световой волны велика по сравнению с радиусом атома, то eiQZ
приближенно можно положить равным единице1).
§ 4. Переходы, вызванные возмущением, не зависящим от времени
В этом случае соотношения, приведенные в предыдущем параграфе,
справедливы при условии v -0. Поскольку в § 3 было показано-, что
возможны только переходы в состояния с энергией W0-^h^, где РЕ,, -энергия
исходного состояния, отсюда следует, что в данном случае возможны лишь
