Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
обращается, таким образом, в нуль по крайней мере в одной точке. Для
простоты предположим, что F (г) имеет только один корень; обозначим его
через /¦".
Решение уравнения (2.19) при малых г будет вести себя, как Arn+l, где А-
некоторая постоянная, которую мы будем считать положительной. Таким
образом, при малых' г как G, так и G' положительны; из уравнения (2.19)
следует, что G" при этом также положительно. При возрастании г функция G
не может убывать до тех пор, пока G' не изменит своего знака; последнее
может, однако, иметь место лишь при значении г,
40 ГЛ. II. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
превышающем первый корень функции G". Поскольку G возрастает и,
следовательно, положительно вплоть до первого корня функции G", из
уравнения (2.19) следует, что этот корень соответствует точке гп. Функция
G возрастает (экспоненциально) вплоть до точки г - гп. Аналогичный
результат имеет место в случае отрицательного значения А.
При г>гп функция G носит колебательный характер, как это показано на фиг.
2.
Найдем теперь классическое значение наименьшего расстояния между
электроном с энергией Е и атомом при условии, что
момент количества движения электрона относительно ядра атома равен 1.
Величина I представляет собой произведение начального значения импульса
электрона на "параметр столкновения" р1). Если v - скорость электрона в
точке его наибольшего сближения с атомом, то
а согласно принципу сохранения момента количества движения и поскольку
радиальная скорость электрона в точке наибольшего сближения равна нулю,
mvr - I.
Исключая V, получаем уравнение для определения г:
F(r)
7!
г
G(r)
г
Фиг. 2.
i-7nv* + V{r) = E,
(2.21)
J) "Параметром столкновения" называется расстояние между прямой, вдоль
которой частица двигалась первоначально, и центром рассеивающего поля.
| 2. СООТНОШ. МЕЖДУ ФАЗАМИ i)n И МОМЕНТОМ КОЛИЧ. ДВИЖЕНИЯ 41
Если мы положим
г_ А["(п + 1)]1/2
2л '
то уравнение (2.21) сведется к уравнению
F (г) = О,
где F (г) определяется выражением (2.20). Корень гп функции F (г)
представляет собой, таким образом, то расстояние, на которое частица с
моментом количества движения (2.22) приблизилась бы к атому согласно
классической теории.
Мы уже видели, что при г < гп величина | Gn (г) | очень мала. Докажем
теперь, что если п столь велико, что частица с моментом количества
движения I, определяемым выражением (2.22), не может проникнуть внутрь
атома (согласно классической теории), то соответствующая фаза т)" очень
мала. Мы должны показать, что если V (гп) очень мало при значениях п,
превышающих некоторую определенную величину, то гп при этих значениях я
также очень мало. Отметим, что если V (гп) очень мало, то гп приближенно
может быть определено, как корень выражения
да га (га + 1)
Пусть gn(r) есть решение уравнения
?+{*._ЛЦ+!1},_0, (2.23 >
конечное в начале координат, причем произвольный постоянный коэффициент
выбран таким образом, что при больших г
gn ~ sin Qcr - у .
Функция gn в этом случае имеет вид [см. уравнение (2.9)]
(ТГ
Из приведенных выше соображений следует, что при г < гп функция gn по
мере уменьшения г убывает экспоненциально. По своей форме она сходна с
функцией G, ход которой изображен на фиг. 2.
Решим теперь волновое уравнение (2.19) с помощью метода теории
возмущений. Положим
С" = ?" + Ф
и будем считать, что произведением ФЕ/ можно пренебречь. Подставив Gn в
уравнение (2.19), получим уравнение для опреде-
(2.22)
42 ГЛ. II. ТЕОРИЙ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
.ления Ф:
g- + { А2 - } Ф = U(r) g" (г). (2.24)
Пусть
Ф = gn(r)<.(r).
.Подставив это значение Ф в уравнение (2.24), получим C'fa + 2Cgk *7 (/•)
gn (/•).
Умножая это уравнение на g (/•) и интегрируя, имеем
Г
C'g2=$tfW[gWl2^-
Поскольку при /• = () функция С' должна быть конечной, a g (г) при малых
г будет вести себя, как rn+1, нижний предел этого интеграла должен
равняться нулю. Мы видим, таким образом, что
Г
? = [*(г)Г*$17(г)[*(г)]*Л-.
о
При больших г имеем
QO
^~ cosec2Qcr - у гатГ) ^ U(г) [g (г)]2 dr, (2.25)
о
•так как интеграл, стоящий в правой части равенства, сходится. Обозначим
через Ап интеграл
СО
5 и (r) [gn (г)]2 dr. о
Мы предположили, что при рассматриваемых значениях га функция U (/•) мала
при г > /•"; мы знаем также, что ga мало при .г < /•". Численное значение
интеграла Ап должно быть поэтому малым.
Проинтегрировав выражение (2.25), получим С ~ [ctg^Ar - у raw^ + aj ^ ,
где а -постоянная. Отсюда следует, что
§ 2. РАССЕЯНИЕ потенциальной ямой
43
•/]"> имеем (2.26)
(2.27)
Это соотношение справедливо, если его правая часть мала; оно
свидетельствует о том, что при рассматриваемых условиях rtn мало.
Поскольку формула (2.27) справедлива при больших значениях га, ею можно
воспользоваться для исследования сходимости ряда (2.17), определяющего
амплитуду рассеянной волны. Этот ряд сходится, если сходится выражение
2 ^в^п (cos (r)) (2п +1).
Если rjn <|1 для любых га, то формулой (2.27) можно пользоваться при всех
