Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
с заземленной поверхностью, так как
Для CdS бп=9.0, ? = 0.0036 и рта44Х, тогда как Cbg/стл; "0.999992.
В работе [Kalyanasundaran, 1984] исследовались нелинейные свойства волн
Блёстейна-Гуляева; за основу бралось представление функции для энергии в
виде ряда (4.2.26); все уравнения записывались в лагранжевой системе
координат. Учет нелинейностей производился методом возмущений;
установлено, что мода остается в основном типа SH, несмотря на общую
взаимосвязь рассмотренной здесь компоненты перемещения с другими
компонентами.
§ 4.12. Элементы нелинейной теории
А. Общие уравнения
Для исследования нелинейных электромеханических взаимодействий нужно
исходить из общих уравнений, выписанных в § 4.2. Однако нас в основном
интересуют только акустические явления, поэтому и в рамках общей
нелинейной теории мы также можем воспользоваться приближением
квазиэлектростатики. Поэтому последнее уравнение (4.6.8) предполагается
справедливым и для электрического поля в лабораторной системе координат:
VXE = 0=>E = -Vcp. (4.12.1)
Очевидно, что все мешающие члены порядка |v|/c следует отбросить; тогда
уравнение (4.2.19) принимает вид
(4.11.23)
? = Я2(1 + еп).
(4.11.24)
(r)К - ^ixi, к - Ф, ixl, к - Ф, к = W к. (4.12.2)
§ 4.12. Элементы нелинейной теории 255
Таким образом, в представлении свободной энергии в виде ряда (4.2.26)
величина заменяется на Wr, а уравнения (4.2.24) принимают вид
с 02 " 02 1 <92 ,,
Skl~ 0Ekl' ПК- dWK' 11 - р0 <90 ' (4.12.3)
а из уравнений (4.2.17) i и (4.2.26) следует
T" = ^-X,,L. Р, = ,-J-. (4.12.4)
С этого места и далее мы будем считать, что координаты в ла-гранжевой и
текущей конфигурациях берутся в одной и той же декартовой системе
координат, поэтому мы будем использовать только индексы из строчных
латинских букв. Производная относительно лагранжевой координаты для
избежания путаницы будет по-прежнему обозначаться оператором djdXi.
В новых обозначениях уравнения (4.12.4) записываются в виде
р 02 Ох, , Ох. 02 , . " "
Т^ = ~оЁ~~дГ' pi = ~I ~дХ^~д?1' (4.12.5)
ip р я я
полевые уравнения, решение которых нужно найти,-это урав-нение движения
(4.2.13) и последнее из уравнений Максвелла
(4.2.15). С учетом введенных обозначений они зыписываются в виде
д^и • д
?"-ёг=жт'>+п1' (4Л2-6)
(c), = 0, (c),-/•!&-В,. (4.12.7)
0Xt 1 ' ' OXj
Здесь мы используем разложение
ri/ = rf/ + rf/, (4.12.8)
где Tf. определяется по формуле (4.12.5) i, a TFtj- по формуле
teV)=
<9Ф аФ / oxt oxm охр 1 axt ох^ ох^
0Xm 0Xt ^<9xfe 0xk Ox j 2 Ox, 0xk OxJ- ' •
Действительно, в приближении квазйэлектростатики слагаемые с В исчезают
из первого уравнения (4.2.6), а сила fL, входящая в уравнение (4.2.2),
как легко показать, тождественно преобразуется к виду
If = -к (?'Е< - т ?!б")=4г, <""' И-12.10)
1
256 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество i
а также
= '%rk~k;t"=lirfi- <4Л2Л1>
Граничные условия, соответствующие уравнениям (4.12.6) и (4.12.7), как
легко показать, на невозмущенной (неподвижной) лагранжевой границе dD0
имеют следующую форму:
Nrf = J {NkC^Np)mkn) i + Nt [7f,]t
Ni [(c),]¦= j(NkC^Npymwt. (4Л2Л2)
Введем теперь лагранжево электрическое поле S'k (не совпадающее с Wk) по
формуле
Sk = I^Ei = JCi}Wl. (4.12.13)
Тогда
<Ti. - _i_ тт. - тптУхгг_________
dW
Ък = &к + Пк = 1Я№,--§-, (4.12.14)
k
это уравнение есть не что иное, как уравнение (4.2.30) в приближении'
квазиэлектростатики. Наконец, предположим, что 2 дается усеченным рядом
(4.2.26), только (r) заменено на W. Учитывая следующие представления для
величин:
дх, ди,
^- = б,Р + -^
дХР ~ 1р ~Г дХр ' дХ, ди, ди, dut (4.12.15)
-j- = б/г - -щ dir + -щ 6kr + ¦ • •.
г __ 1 | диР I 1 (диРу 1 (диР дичЛ |
1 ^ дХр ^ 2 KdXpJ 2 \dXq dXpJ^ ¦ ¦ •'
в которые входят производные только по Xk, мы можем выразить Tfr Tp{j, Пт
и %m через uk, t = duk/dXi и Wm = -d^jdXm (в изотермическом случае):
?
Tij I "h (V2Ci]ni&km "Ь Cinkfijm "4" ^kt l^m, n "Ь
( IApiqnfiktrfipi + lU с ijklqifipn "Ь IApijqlmndkp ~Ь "Ь ^liCiqklmndpj
"Ь ^lePijklmnpq) iH-m, n^p, q "b + em. i/ф, m - 1hlmn¦ i/ф, тФ, n +
+ (^m. ijkl + 6m. il(>kl) Ф muk, I + 0h^rn. iiql^kp + em. iqkl&pl +
§ 4.12. Элементы нелинейной теории 257
"Ь ijklpq) ф, muh, lup, q '/Дтя. г/р</ф, тф, яир, </ "Ь
~Ь Уб/тяр, г/ф, тф, яф, р> (4-12.16)
Tilz== У2 (^im^ln "Ь ^г/^тя)ф, тф, я "Ь Е^р</ (^irn^nj
- Уг^гАяя) + bnp (УА/б/яр ~ ^im^iq) + &ip OU^mn^iq ~
- bmq6In) + 6mp ('/Ajbnq - biqbnj)] ф, тф_ nUp> q, (4.12.17)
Пт == ^m- f/^г, / Хтяф, я "Ь
"Ь '/г (^т. ifiik "Ь ^т. ijkl) Ml, j^k, I ~Ь У2%тярф, яф, р
1/ля. ?/Ф> я^?, / "Ь ( 1фт- iiklpq "Ь У2bkpSm_ ijql) Ui^ jUг^р, <j (
/г^тя. pl^iq "f" 'Утя. iipq) Ф, я^?, 7'^p, p ~Ь V2fтяр. ?/ф, яф, p^i, !
/бХтяррф, тф, рф, р> (4.12.18) ^т ^тяф, я "Ь ( Ь{/Ьтп -f- bmibnj bnibmj)
уф1 -[-
+ {-xl2bmnbtjbkt + 'kbmnbubki + bikbmlbnj + bklbinbjm -
bimbjk.bni bftibfcjbijn bmjbnjibii)ui jUili ;ф^ n. (4.12.19)
Очевидно, если пренебречь слагаемыми более высокого порядка, чем первый,
уравнение (4.12.17) перейдет в Г^ = 0, а уравнения (4.12.16), (4.12.18) -
