Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
г ! , (4.2.16)
NX[#-7(r)X(F-i-v-V)] = 0, N-[(c)] = Of
на границе области dD0, где
jE о
tKi - ^KLXi, L - ~Q? Xl, L'
KL (4.2.17)
р^ = -(ул.П)/+1(р-й)хв,
%K=JKK,iBl, (r)K = JKK,tDl, (4.2.18)
- Eixi, К + ~&KPQXP, ivr&Q>
af (4-2.19)
%K=*iXt,*=-§-.
ouK
&k - HiX{t к -J- - ^kpqXp, (4.2.20)
§ 4.2. Нелинейные полевые и определяющие уравнения 223
В. Другая формулировка нелинейных определяющих уравнений
В вышеописанной формулировке уравнение энергии или уравнение Гиббса имеет
вид
В этой формулировке электрическая поляризация выделяет-,ся как
независимая переменная. Эту роль может играть и ла-гранжево электрическое
поле @, если выполнить следующее преобразование Лежандра с двумя
последними переменными в функции 2:
из которых следует, что уравнение (4.2.21) заменяется уравнением
Величину 2 можно назвать свободной энергией единицы объема. Электрическая
поляризация определяется уравнением
Функция 2 в случае необходимости, но, конечно, для относительно малых
значений энергии может быть разложена в ряд по своим аргументам, только
вместо аргумента температуры 9 должна быть использована величина 0 = 9 -
90 - отклонение температуры от некоторого отсчетного однородного
распределения температуры. Таким образом, имеем
2 = lliCKLMNEKLE MN + 1I(PklmnpqEkLE mnEpq +
+ "24" CkLmnpqrsEklEmnEpqErs ~
- SklEkl + + poQil,
(4.2.21)
где
2 (E, (r), 0) = 2 (E, П, t,) - <g • П - ро0ть (4.2.23)
при этом имеют место соотношения
~lf 2 = SklEkl Г!#(r)# р0т)9.
Pi = -I_1
'K
(4.2.25)
- ем.мЯмЕкь - '/гIkl&k&l ~
- V2 eM.KLPQ^M^KLppQ - 7б eM.KLPQRS^MpKLEpQERS
224
Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
Здесь разложение было ограничено четвертым порядком по деформациям и
электрическому полю и первым или вторым порядком по отклонению
температуры. Предполагается, что состояние
является состоянием с минимальной свободной энергией. По причинам,
которые становятся очевидными после применения уравнений (4.2.24),
тензоры CKLmn, Cklmnpq и CKLMnpqrs называются тензорными коэффициентами
упругости (или модулями) второго, третьего и четвертого порядков при
постоянной температуре и электрическом поле. Материальные тензоры %Ri,
Xklm и Xklmn - тензорные электрические восприимчивости второго, третьего
и четвертого порядков при постоянной температуре и деформациях.
Материальные тензоры eM.KL и Jmnp.kl- тензорные пьезоэлектрические
коэффициенты второго и четвертого порядков соответственно. Тензор Imn.kl
отвечает за электрострик-цию; тензоры cm.klpq, eM.KLPQRs и Imn.klpq
называются соответственно тензорными электроупругими коэффициентами
третьего порядка, нечетными и четными тензорными электроупругими
коэффициентами четвертого порядка. Наконец, вектор - вектор
пироэлектричества, а ^ и tkl, как в гл. 2, - удельная теплоемкость и
тензорный коэффициент термоупругости.
Нужно подчеркнуть, что лишь немногие коэффициенты четвертого порядка
известны; нехватка информации об этих коэффициентах приводит к
затруднениям в ряде приложений, в которых используются нелинейные эффекты
или эффекты, основанные на них. Если материал обладает центральной
симметрией, то все материальные коэффициенты нечетного порядка
тождественно обращаются в нуль. Это имеет место для галогенов- щелочных
металлов, например NaCl или К.С1, в которых электромеханические эффекты
имеют другую природу, чем в кристаллах, допускающих полное разложение
(4.2.26) (см. гл. 7). Это также показывает основное различие между
пьезоэлектричеством, электрострикцией и другими электроупругими
эффектами, которые часто путают в литературе. Действительно, из уравнения
(4.2.26) в отсутствие тепловых эффектов и уравнения (4.2.24) 1 в общем
случае следует
ekl = о, @к = о, е = е0
(4.2.27)
- {CrlmnEмм "Ь УгСklmnpqEnnEPq -f-~h 1/6CklmmpqrsEmnEpqErs} -
§ 4.3. Линейная теория пьезоэлектричества Фойгта
225
- ieM.KL&M + '/Умлг.кь^м(r)# + 7б/ mnp.kl&m^n&p}
~ {eM.KLPQ^-M^PQ + 1I2^m.ILPQRS^mEpqErs ~
- 421mn.klpq^m^-n^pq}'> (4.2.28)
для материалов с центральной симметрией имеем упрощенное выражение:
Skl = {CKlMnEmn + • • •} '/г Umn.kl + Imn.klpqEpq}
(4.2.29)
Ясно, что напряжения, определяемые пьезоэлектрическим эффектом второго
порядка (ем.кь), меняют знак вместе с электрическим полем, тогда как
напряжения, определяемые электро-стрикцией (Imn.kl), не меняются при
обращении электрического поля. В этой главе рассматриваются в основном
только линейные приближения определяющих уравнений, что означает
квадратичное разложение энергии по всем аргументам, т. е. рассматривается
только пьезоэлектричество, а для этого мы должны иметь дело с материалом,
не имеющим центральной симметрии. Учет многих слагаемых более высокого
порядка в разложении (4.26), тем не менее, полезен при рассмотрении
некоторых эффектов нелинейных электроупругих взаимодействий. Такие
эффекты кратко рассматриваются в § 4.12. Полное изложение этого материала
см. в специализированной монографии [Maugin, 1985].
Перед тем как перейти к линейной теории, отметим, что в общем случае
