Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
We
е
Л
еА
6оер,
V"
Besl
Аддитивная постоянная
Тепловая энергия Термоупругая энергия
Упругая энергия
Обменная энергия
Магнитокристаллическая
энергия
Пиромагнитная энергия
Пьезомагиитная энергия
Магнитострикционная энергия
Обменно-стрикционная
энергия
Здесь введены разные тензорные коэффициенты, т. е. vkl,
Lrl, Cklmn, aKL, ъкьм, %kl, Nkl, fкlm> Bklmn и уklmn> имеющие очевидные
свойства симметрии. Кроме постоянных %, (c) и вектора с лагранжевыми
компонентами Nk они могут зависеть от 60. Постоянную фо можно отбросить
без потери общности. Особый интерес представляют несколько частных
случаев.
§ 6.4. Определяющие уравнения для упругих материалов 357
(a) Материалы с центральной симметрией не имеют материальных тензорных
коэффициентов нечетного порядка, так что ?klm, Nк и fxLM тождественно
равны нулю. Далее, эффект, учитываемый коэффициентом NKL, имеет порядок
ед. Если пространственные неоднородности намагниченности малы, то
соответствующее слагаемое в общем случае третьего порядка можно
отбросить, так что в материалах с центральной симметрией нет ни
пиромагнитного, ни пьезомагнитного эффектов.
(b) Для изотермических процессов все слагаемые с множителем 0 обращаются
в нуль.
(c) Слагаемое, линейное по Е, в выражении для упругой энергии определяет
состояние с однородным напряжением; его можно формально исключить из
разложения, если считать, что оно определяет новую отсчетную
конфигурацию, по-прежнему обозначаемую через Ж и- Таким образом, для
материалов, не имеющих центральной симметрии, в изотермических ситуациях,
в отсутствие однородных напряжений и при относительно малых
неоднородностях поля намагниченности мы можем рассмотреть следующее
упрощенное выражение для свободной энергии:
= 2р7 CKLMNEKLEMN "1" PoEKLMWEKLmMmN + /K.MLmKELM "Ь
+ -y- ^LniKmL "f~ ~2~ (aKL^KL ^^klmnE(6.4.35)
здесь остались только слагаемые с энергией упругости, магни-тострикции,
пьезомагнетизма, магнитной анизотропии, обменной и обменно-стрикционной.
Два последних слагаемых объединены вместе по причине, которая станет
понятной в следующем пункте: они появляются одновременно при вычислении
континуального выражения для микроскопической обменной энергии в твердых
материалах, находящихся под действием упругих напряжений (см. ниже).
Однако последнее слагаемое в этом выражении для малых неоднородностей
поля намагниченности имеет третий порядок, и его, вообще говоря, следует
вычеркнуть из выражения (6.4.35).
На основе полученного выражения для энергии несложно получить
определяющие уравнения в явном виде. Мы не будем здесь этого делать.
D. Соответствие между микроскопической моделью и континуальным
представлением
Попробуем рассмотреть упругие ферромагнетики, подвергнутые большим
деформациям относительно недеформирован-ного состояния, и найти
феноменологическое выражение для
358
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
обменной энергии через ее представление на микроскопическом уровне,
данное в § 1.6. Для этого рассмотрим выражение Гейзенберга (1.6.13).
Обменный интеграл / в общем случае является функцией расстояния г("Р>
между положениями атомов аир. Предположим, что угол между спинами S0 и
мал и |S°| = |SP| = S; пусть na - единичный вектор, направленный
противоположно Sa; тогда
Sa • Sp = S2 cos " S2 [l - •/* (ФаP)2], (6.4.36)
na|. (6.4.37)
При этих предположениях выражение (1.6.13) можно переписать в виде
W№) = _ 2J (r(ap>) S2 + / (r(aP)) S2 (nP - na)2. (6.4.38)
Допустим теперь, что в некоторый фиксированный момент t поле вектора п"
можно описать как непрерывное поле п(Х) точки X в отсчетной конфигурации
Жц, т. е. в недеформирован-ной решетке. В первом приближении np - na =
[(Хр _ Xa) X X Vr] п, где Х"- материальные координаты атома а. Для
простоты будем считать, что начало Х-системы координат совпадает с
положением атома а в недеформированном состоянии; тогда Х" = 0. Подставив
полученное выражение для (пр - na) в выражение (6.4.38), найдем
Wm) = -2J (r(a0)) S2 + / (r(aP)) S2 [(Xp • Vr) n]2. (6.4.39)
Просуммируем это выражение по всем атомам р, ближайшим к атому а; умножим
результат на 1/2, чтобы избежать повторного счета каждого слагаемого, и
на число атомов по в единице недеформированного объема в ЖR. Первое
слагаемое в
(6.4.39) может зависеть от п и Е только через /(И"Р)); в результате его
можно включить в другие члены в выражении для полной свободной энергии,
также зависящие от Е и п, поэтому вклад обменных сил в феноменологическое
выражение для (свободной) обменной энергии в недеформированном состоянии
получается суммированием только второго слагаемого в выражении (6.4.39).
Таким образом,
Рофех = \ nQS2 ? / (r(af5)) [(Хр - VR) • nf. (6.4.40)
k
Вычисление правой части этого уравнения проводится следующим образом.
Пусть R - расстояние между атомом и ближайшим к нему другим атомом в Жк
до деформации. Так как R и г(сФ), очевидно, малы в континуальном
масштабе, то мы с уче-
§ 6.4. Определяющие уравнения для упругих материалов 359
