Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
„ Спектральные представления колебаний широко распространились главным образом в связи с развитием радиотехники. Их основой является гармонический анализ процессов, выполняемый с помощью математического аппарата разложений Фурье, который, кстати сказать, рассматривался их автором лишь как средство решения отвлеченных математических задач.
317
Широкое распространение гармонического анализа во всех отраслях современной науки и техники объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является простейшей функцией, не поддающейся дальнейшему разложению в спектр. Во-вторых, оно является единственной функцией, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную систему. Далее, разложение сложного сигнала по ортогональной системе основных тригонометрических функций синусов и косинусов - — позволяет использовать символический метод, подробно разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные системы.
Возможность использовать гармонический анализ не только в теории и технике формирования и обработки сигналов, но и для решения таких задач, как определение взаимной связи распределения токов в антенне сантиметрового диапазона с формой ее диаграммы направленности, определение структуры пространственных фильтров, позволяющих осуществить опознавание изображения на фотоснимке, улучшить качество последнего, и т. д., привлекло к разложениям Фурье пристальное внимание научных работников и инженеров.
§ 2. СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Периодических сигналов в строгом смысле не существует, так как основным свойством периодической функции является бесконечное повторение одного и того же явления. Однако понятие периодического сигнала с большой пользой применяется при анализе реальных процессов, всегда занимающих конечные интервалы времени или пространства.
Рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к определению и расчету спектров периодических сигналов.
2.1. Гармонические колебания
Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание, определяемое тригонометрической функцией времени или пространства
U (/) = A cos [(2п/Т) t — ф] = A cos (соt — \р) = A cos <р
при —оо < t < 4- 00 или
U (х) = A cos [(2п!Х) х — ф] = A cos (рх — \р) = A cos <р
при —оо < х < + оо. Здесь А, Т — амплитуда и период колебания; со = 2л/Т = 2л;/ — круговая частота колебания; f = = 1 IT — частота колебания; X — длина волны; р — 2л1Х = = 2лд> — круговая пространственная частота; v = 1/А, — пространственная частота колебания (волновое число); г^, ф — на* чальная и полная фазы колебания.
318
Графическое изображение гармонического колебания пред ставлено на рис. 253. В дальнейшем в качестве аргумента гармонической функции будут использоваться равным образом временная t и пространственная х (у) координаты.
Гармоническое колебание можно представить в виде действительной части комплекс ного переменного
U(l) - ЛНе[е/ф], откуда, учитывая, что е/Ф = cos Ф + у sin ф,
найдем
U (0 = Л Re [cos ф f + j sin ф) = Л cos ф.
В этом случае имеется в виду, что некоторый вектор А вращается с угловой скоростью gd и значение U (t) определяется его проекцией на действительную ось (рис. 254).
Рис. 254. Представление гармоническо- Рис. 255. Векторное представление го колебания в виде проекции вращаю- гармонического колебания
Щегося вектора на действительную ось
Можно также воспользоваться представлением гармонического колебания в виде суммы двух векторов В и С, имеющих Одинаковый модуль 0,5Л и вращающихся с частотой to в противоположных направлениях (рис. 255). Тогда
^ (0 — В -f- С = 0,5Ле+^ |- 0,5Ле—№ = (),5Л (е+/<Р \- е—м) = Л cos (р.
1 А i f\ Mw /\< A , Л /
их J \ / i V XJ с X .
Рис. 253. Графическое представление гармонического колебания: а — функция времени; б — •jg' функция пространственной координаты
319
В полученном выражении одно из слагаемых может трактоваться как колебанье с «отрицательной» частотой ы_ = —(о^ и фазой i}l_ = -
Действительно, можно найти (индекс плюс для положительных значений частоты и фазы в дальнейшем опускается)
JJ (t) — В -f- С — 0,5Ае+№ -f- 0,5Ле"/ч> =
= 0,5Ле I i |- 0,5Ле- 'С®*-1»» = 0.5Л [е/ <“*-*> \ f <«-*-!>->] ^
= 0,5Л [е' (“*-*> -|- е/ К-®>1 -¦-!].
Используя тригонометрическое представление комплексного числа, легко показать, как эго уже было сделано в § 1 гл. 8, что гармонической составляющей с какой-либо физической частотой « всегда соответствует пара слагаемых, одно из которых содержит отрицательную частоту.
2.2. Сложный периодический процесс
Любой сложный периодический процесс может быть представлен с помощью ряда Фурье в виде суммы элементарных гармонических колебаний.
Пусть функция U (/), заданная в интервале от tx до f2,
повторяется с частотой (Dj ственными математическими
иш
-t
aJ/v
-t, T tfT I tt
I
T I
/У/1
t, tg i tfT t?T
I
Рис. 256. Произвольный периодический процесс
= 2п/Т (рис. 256). Тогда с иесуще-ограничениями, сводящимися к тому, что функция должна быть непрерывной или иметь конечное число разрывов, а также иметь в пределах одного периода конечное число максимумов и минимумов (условие Дирихле), функция U (t) может быть представлена рядом Фурье в виде суммы тригонометрических функций:
