Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
[(P )2/4п]грав. волны — [Тии\э. м. волны = (*^ )2/4яZ/2. (35.45)
Можно провести более близкую аналогию. Будем уменьшать длины рассматриваемых волн, оставляя при этом (Р')2/4л и (Л')2/4nL2 фиксированными:
<(Р')2/4п ) = <M')2/4jtL2 > = const, fc ->¦ 0.
В пределе очень малых длин волн (т. е. для характерных размеров ^) эти два решения совершенно неразличимы. Соответствующие им метрики тождественны (1-^-0 и ((P')2) = const означает, что P 0), и колебание, которое испытывают пробные частицы в том и в другом случае, слишком мало, чтобы его можно было заметить. Поддается обнаружению только создаваемое этими волнами искривление пространства-времени (L Ф 1) и связанное с ним гравитационное притяжение.
§ 35.12. НОВАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ТОЧНУЮ ПЛОСКУЮ ВОЛНУ
Проведенное выше сравнение приводит к точке зрения, которая уже затрагивалась во введении к этой главе и в § 35.8. Будем представлять себе точное решение для гравитационной плоской волны [фиг. 35.3, уравнения (35.29) и (35.33)] как рябь на пространствен-
Плоские электромагнитная и гравитационная ВОЛНЫ создают одинаковое гравитационное притяжение
Пересмотр
плоских
гравитационных волн на языке «коротковолново* го приближения» :
2
186 33. Распространение гравитационных волн
1) различие между рябыо и фоном
2) распространение ряби по фону
но-временной кривизне, описываемую фактором р (и) и распространяющуюся на фоне слегка искривленного пространства-времени, которое характеризуется фактором L (и). Наиболее яркое различие между рябью и фоном заключается не в величине их пространственно-временных кривизн, а в их характерных длинах. Характерная длина для ряби
к = (типичная приведенная длина волны У2л), (35.46)
характерная длина для фона («радиус кривизны фоновой геометрии»)
ЗІ ~ I LfL !внутри волны ~ 1/1P' I- (35.47)
Напомним, что к несколько меньше протяженности импульса 2Т.
Напомним также, что | P'T | <^1. Мы приходим к выводу, что
характерные длины для «волнового фактора» и для «фонового фактора» сильно различаются:
к М. (35.48)
Эта разница в масштабах позволяет отделить фон от ряби.
Масштаб ряби много меньше фонового (к М). Однако локальная кривизпа в ряби соответственно больше, чем фоновая кривизна [выражения (35.30), (35.34)], так что
№и)фон= №и)фоп = -L"/L ~ W,
(-йизси)волна= (^иуи)волна= P (35.49)
~ I р' |Д ~ 1/ (Ш) ~ (Mlk) (i&cW
Это напоминает неровности на поверхности апельсина!
Фоновая метрика для гравитационной плоской волны та же, что и для плоской электромагнитной волны [выражение (35.40)]:
ds2 = gffi dx11 dxv — L2 (dx2 + dy2) — du dv. (35.50)
Сравнивая с (35.29а), мы видим, что метрика для полного пространства-времени (фон плюс рябь) есть
ds2 = (g$ +Zillv) ^xtx dxv, (35.51)
hxx = — hyy =2р, все другие Zillv=O. (35.52j
(Напомним, что в той области, где P 0, L почти равно единице.) Можно представлять себе рябь, как поперечное симметричное тензорное поле Zijiv со следом, равным нулю, аналогичное электромагнитному полю Avi, распространяющемуся по фоновой геометрии. Точно так же, как электромагнитное поле создает фоновую кривизну благодаря
Guu = —2 L11IL = 8пГии,
§ 35.13. Коротковолновое приближение
187
2
гравитационно-волновая рябь Zifiv создает фоновую кривизну согласно уравнению (35.31), которое можно переписать в виде
G1-UU = —ЧЬ”И = 8 л Tl*?. (35.53)
Здесь
T^ s -L (р')2 =, hjhiUhJhill (35.54)
есть «эффективный тензор энергии-импульса» гравитационных волн. Заметим, что с точностью до усреднения он совпадает с выражением (35.23). которое было выписано без доказательства в § 35.7.
35.10. Плоская волна, в которой представлены обе поляризации
Точное решение (35.29) является плоской волной с поляризацией е+. Постройте аналогичное решение, содержащее две произвольные амплитуды P (и) и у (и) для поляризаций е+ и ех- Обобщите на это решение все то, что обсуждалось в § 35.9—35.12.
§ 35.13. КОРОТКОВОЛНОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В оставшейся части этой главы указанная выше точка зрения строгим образом распространяется на весьма общие решения для гравитационных волн. Это обобщение, называемое «коротковолновым формализмом», было разработано в основном Айзаксоном [230, 231], хотя этот формализм строился на фундаменте, заложенном Уилером [256], а также Бриллем и Хартлем [232]. Еще более строгие варианты этого формализма в ВКБ-приближении, или в приближении геометрической оптики, разработали Шоке-Бруа [233], а также Мак-Коллом и Tayб.
Рассмотрим гравитационные волны, распространяющиеся в пустом фоновом пространстве-времени. Как и в § 35.7, допустим, что M — характерный радиус фоновой кривизны, X и Jk — приведенная длина волны (к/2л) и амплитуда волны; потребуем, чтобы Jk 1 и <^1. Фоновая кривизна может быть полностью
обусловлена самими волнами или же частично волнами, а частично расположенными поблизости веществом и полями негравитационного типа.
При анализе используется система координат, которая «приводится в точное соответствие» с пространством-временем в том смысле, что метрические коэффициенты могут быть разложены на «фоновые» коэффициенты и возмущения:
