Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2
414 14. Вычисление кривизни
б. Ho поворот пока остается «неопределенным», поскольку еще не указав размер элемента поверхности. Последний удобнее всего представлять себе как элементарный параллелограмм, определяемый двумя векторами («бивектор»). Таким образом, Л{р или, конкретнее, единственный элемент,
который имеет значение Л1 s («угол поворота»), нужно считать математическим объектом (2-формой), наделенным двумя входными каналами, в которые мы вводим эти два вектора и получаем на выходе число (угол в радианах). В примере с тропическим шлемом из соотношения (1) имеем
A=-TlS-1A"8- №
Теперь понятно, почему в тексте называются «2-формами кривизны».
I. В тексте показано, как из таких выражений находить компоненты тенэора кривизны Римана; в нашем случае, например,
^ % I 2! — ~ ^ 2 2 ї = (“ */г) (^trI(коэффициенты при оИ Д со^‘
п 19 I?
или при «о Дет).
г. Обобщая на случай четырех измерений, мы понимаем под i?aBliV множитель, который надо умножить на три числа, чтобы получить четвертое. Получающееся в результате число представляет собой изменение (с обратным знаком), которое претерпевает a-компонента вектора после параллельного переноса последнего по замкнутому контуру, задаваемому, например, параллелограммом, построенным на двух векторах U и V. Множителями, на которые следует умножить -Raeiiv, являются: 1) компонента вектора А в направлении (5, 2) и 3) ^v-компонента участка поверхности, занимаемого параллелограммом, (u>*i;v — uV*). Таким образом,
ЬАа = — fl°pillvi^fVi«>v —
Дополнение 14.2. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ (ИЛЛЮСТРИРУЕМОЕ НА ПРИМЕРЕ ГЛОБУСА)
В простейшем методе вычисления компонент jF?**va в тензора кривизны Римана, обладающем универсальной применимостью, в качестве исходных данных используются метрические коэффициенты и применяется следующая схема:
TMl Д~вГ + ГГ „ц ?|iv -" I 1 аЭ ^ ¦“ vaP-
Формулы, которые требуются на этих трех этапах, имеют вид
^ Ч ( dUa , <>Єа(і \
2 І дхЬ + дх* дх» / >
Г“аР = ^rvafj, (2)
я^аВ=+г^г0*- iV*-.. (3)
§ 14.1. Кривизна дает возможность понять физику 415
2
Метрика поверхности двумерной сферы радиуса а имеет вид
ds* = a2 (d0* -J- sin2 0 йфг). (4)
Для вычисления кривизны стандартным методой воспользуемся формулой для ds* как таблицей значений gkl. Она дает gee = a2, ge* = 0, g^ = с2 sin2 0.
С помощью формулы (1) найдем те шесть коэффициентов Tjkt = TjIk, которые
могут иметь различные значения (в случае четырех измерений их будет 40):
Гвфф «* — в2 sin 0 cos 0 *= — Гф*в,
) = Гффф«вО, (5)
> = Гфве = 0.
Поднимем первый индекс:
Гвфф = — sin 0 cos 0,
фф-
чФ
Г %е = ctg 0, (6)
Г6 ee"=!10 єф = O= Г*вв = Г%ф.
Выберем подходящую компоненту кривизны (которая не обращается автоматически в нуль из-за элементарной симметрии i?,iva3 = -H[iiv]ieM и которая не была вычислена ранее в другом виде с помощью соотношения RllVaV = -RaPuv) • В рассматриваемом двумерном случае есть только одна такая компонента (в случае четырех измерений их 21); она равна
П0 ^г®фф 0Г^Ф0 ( JT0 гв г^Г _
¦в* =-3§---------5ф" + і ФФ-1 *в —
0
_ дГ фф о + о _ геффГ+ф0 в sin2 0 _ cos2 0-J-sin 0 cos 0 clg 0;
“ dQ таким образом,
или
й6фєф = 8Іп20, (7)
(8)
a2
Выполнив свертку, получим компоненты терзора Риччи
Явв = Д*ф = -1-, Д9ф = 0, (9)
а свернув еще раз, получим скалярную кривизну
R 2/а2. (10)
Удобной ортонормированной системой в этом многообразии является
<o^ = ad0, e>* = asin0d^. (11)
В более общем виде запишем ©“ = LafiAx^. Преобразование тензора к ортонор-
мированным компонентам в этом простом, но поучительном примере диагональной
2
416 14' Вычисление кривизны
метрики сводится к умножению на нормировочные множители — HO одному на каждый индекс тензора. Так, например, tfi = av°, v* = a sin Qv*, v§ = a-1Ve, v$ = (a sin 0)_1Уф. Аналогично, зная Д6феф = sin* 0, находим компоненты тензора кривизны
«Sm-sr-я* і» (‘2>
в ортонормированной системе.
Дополнение 14.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ € ПОМОЩЬЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Исследования в физике гравитации и в общей теории относительности часто сопровождаются длинными аналитическими преобразованиями, требующими особой тщательности и внимания, которые необходимы для нахождения таких величин, как тензоры кривизны Эйнштейна и Римана в данной метрике, дивергенция данного тензора энергии-импульса, уравнения в тетрадах Ньюмана — Пенроуза при данных алгебраических допущениях. Такие выкладки по своей логической структуре дедуктивны и достаточно просты, чтобы с ними могли справляться вычислительные машины. Начиная с 1966 г. вычислительные машины широко используются для решения такого рода задач.
Существует несколько машинных языков, на которых исследователь может запрограммировать свои аналитические преобразования. Специалист по вычислительной технике может счесть удобным работать с языком, ориентированным на машину, таким, как LISP (см., например, [159, 160]). Однако большинство тех, кто занимается приложениями общей теории относительности, предпочтут языки, ориентированные на пользователя, такие, например, как REDUCE (созданный Хирном [1601 и приспособленный для машин IBM360, IBM370 и PDP10), ALAM (созданный Динверно [161] и приспособленный для машин системы Atlas), CAMAL (созданный Бартоном, Бурном и Фитчем [162] и приспособленный для машин системы Atlas) и FORMAC (созданный Тоби и др. [163] и приспособленный для машин IBM 7090, 7094, 360 и 370). Обзор того, что делается в этом направлении, см. в работе [164]. Здесь мы ограничимся рассмотрением языка FORMAC, наиболее доступного и наиболее широко используемого, хотя этот язык, возможно, и не самый лучший (см., например, [161]). Для аналитических преобразований FORMAC является приблизительно тем же, чем были первые, самые примитивные варианты ФОРТРАНА для численных расчетов.
